Questão 146 do Enem 2014 comentada

Um número N = 2^x · 5^y · 7^z tem, pelo Teorema Fundamental da Aritmética, (x + 1)(y + 1)(z + 1) divisores positivos. Como a pergunta exclui o próprio N, subtrai-se 1 desse total.

Passo 1: condições do enunciado

• N é múltiplo de 10 = 2 · 5: então x ≥ 1 e y ≥ 1.
• N não é múltiplo de 7: então z = 0, e o fator (z + 1) vale 1.

Passo 2: contar os divisores

• Número de divisores de N = (x + 1)(y + 1)(z + 1)

Passo 3: excluir o próprio N

• Divisores diferentes de N = (x + 1)(y + 1)(z + 1) − 1

A alternativa E traz exatamente essa expressão.

• A: x · y · z não conta divisores (e, com z = 0, daria zero).
• B: (x + 1)(y + 1) conta todos os divisores, inclusive o próprio N, pois não subtrai 1.
• C: x · y · z − 1 não corresponde à contagem de divisores.
• D: (x + 1)(y + 1) · z se anula quando z = 0 e não subtrai N.

Dica Enem: o número de divisores é o produto dos expoentes somados a 1. Não esqueça de subtrair 1 quando a questão exclui o próprio número.