Questão 174 do Enem 2011 comentada

Matemática e suas Tecnologias · Matemática · Análise combinatória. Tente responder antes de abrir o gabarito.

  • Enem 2011
  • 2º dia
  • Matemática
  • Matemática
  • Análise combinatória
  • Habilidade H2
  • Dificuldade difícil

O setor de recursos humanos de uma empresa vai realizar uma entrevista com 120 candidatos a uma vaga de contador. Por sorteio, eles pretendem atribuir a cada candidato um número, colocar a lista de números em ordem numérica crescente e usá-la para convocar os interessados. Acontece que, por um defeito do computador, foram gerados números com 5 algarismos distintos e, em nenhum deles, apareceram dígitos pares. Em razão disso, a ordem de chamada do candidato que tiver recebido o número 75 913 é

Ver gabarito e comentário

Gabarito oficial (INEP): E

Os números são de 5 algarismos distintos, todos ímpares (já que nenhum par aparece). Os dígitos disponíveis são {1, 3, 5, 7, 9}. Queremos a posição do número 75 913 na ordem crescente, ou seja, quantos números desse tipo são menores que ele, mais 1.

Passo 1: números com primeiro algarismo 1, 3 ou 5. Cada um desses começa um número menor que 7xxxx. Para cada primeiro dígito, sobram 4 dígitos para 4 posições: 4! = 24. Total: 3 × 24 = 72.

Passo 2: primeiro algarismo 7. Os números começam com 7 e são menores que 75 913 se o segundo algarismo for menor que 5 (1 ou 3), ou se o segundo for 5 e o restante ficar abaixo de 913.

  • Segundo algarismo 1: 3! = 6 números (todos menores, pois 71 < 75).
  • Segundo algarismo 3: 3! = 6 números (73 < 75).
  • Segundo algarismo 5: restam {1, 3, 9}. Terceiro algarismo 1 ou 3 (menor que 9) dá 2 × 2 = 4 números. Terceiro algarismo 9 leva a 759xx, com restantes {1, 3}; só 75913 seria igual e não há menores. Total: 4.

Somando: 72 + 6 + 6 + 4 = 88 números menores que 75 913.

Passo 3: o número 75 913 ocupa a posição 88 + 1 = 89.

  • (A) 24 e (B) 31 não correspondem à contagem.
  • (C) 32 erra a contagem dos números que começam com 1, 3 ou 5.
  • (D) 88 é a quantidade de números anteriores, não a posição do candidato.

Dica Enem: em problemas de posição, conte quantos elementos vêm antes e some 1; não esqueça que a contagem começa no primeiro item da lista.

Conceitos cobrados: Análise combinatória: permutações de algarismos com restrição de paridade; Contagem por ordem lexicográfica para determinar a posição de um elemento.

Comentário gerado por IA a partir do gabarito oficial e revisado automaticamente; pode conter erros — o gabarito do INEP prevalece. Dificuldade pelo parâmetro b divulgado pelo INEP nos microdados: 2,69.

Fonte: Prova oficial do Enem (INEP), ano 2011, 2º dia, questão 174.
Equipe Cravei · como fazemos e revisamos

Quer saber quanto vale cada acerto? Use a calculadora de nota do Enem (estimativa pela TRI).

Questões parecidas