Questão 155 do Enem 2025 comentada

Matemática e suas Tecnologias · Matemática · Análise combinatória. Tente responder antes de abrir o gabarito.

  • Enem 2025
  • 2º dia
  • Matemática
  • Matemática
  • Análise combinatória
  • Habilidade H2
  • Dificuldade difícil

Dez casais fundaram um grupo de dança e decidiram constituir uma diretoria com três cargos: presidente, secretário e tesoureiro. Para maior representatividade, decidiu-se que no máximo uma pessoa por casal poderá ocupar um cargo nessa diretoria. Quantas diretorias diferentes podem ser constituídas por esses 10 casais?

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Gabarito oficial (INEP): B

São 10 casais, ou seja, 20 pessoas. A regra é que no máximo uma pessoa por casal ocupe cargo. Assim, ao preencher os três cargos, cada escolha exclui o cônjuge da pessoa já escolhida, quando ele tem de ser excluído.

A contagem em ordem:

  • Presidente: qualquer uma das 20 pessoas → 20 escolhas.
  • Secretário: não pode ser o cônjuge do presidente, então sobram 20 − 2 = 18 escolhas.
  • Tesoureiro: não podem ser o cônjuge do presidente nem do secretário, então sobram 20 − 4 = 16 escolhas.

Total: 20 × 18 × 16 diretorias.

As demais alternativas estão erradas:

  • (A) 10 × 9 × 8: conta 10 casais como se fossem 10 pessoas, ignorando que cada casal tem duas pessoas.
  • (C) 20 × 19 × 18: não exclui os cônjuges, o que violaria a regra.
  • (D) 10 × 9 × 8 × 2: aplica um fator extra sem justificativa.
  • (E) 20 × 18 × 16 × 2: o fator 2 é indevido, pois a ordem dos cargos já está fixada na contagem.

Dica Enem: em questões com restrição de 'não mais de um por grupo', escolha primeiro o elemento que impõe a restrição e depois exclua todos os elementos proibidos a cada passo.

Conceitos cobrados: Análise combinatória: princípio multiplicativo; Arranjos com restrição; Contagem com exclusão de elementos proibidos.

Comentário gerado por IA a partir do gabarito oficial e revisado automaticamente; pode conter erros — o gabarito do INEP prevalece. Dificuldade pelo parâmetro b divulgado pelo INEP nos microdados: 2,29.

Fonte: Prova oficial do Enem (INEP), ano 2025, 2º dia, questão 155.
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