Questão 138 do Enem 2013 comentada

Matemática e suas Tecnologias · Matemática · Análise combinatória. Tente responder antes de abrir o gabarito.

  • Enem 2013
  • 2º dia
  • Matemática
  • Matemática
  • Análise combinatória
  • Habilidade H2
  • Dificuldade difícil

Um banco solicitou aos seus clientes a criação de uma senha pessoal de seis dígitos, formada somente por algarismos de 0 a 9, para acesso à conta corrente pela internet.

Entretanto, um especialista em sistemas de segurança eletrônica recomendou à direção do banco recadastrar seus usuários, solicitando, para cada um deles, a criação de uma nova senha com seis dígitos, permitindo agora o uso das 26 letras do alfabeto, além dos algarismos de 0 a 9. Nesse novo sistema, cada letra maiúscula era considerada distinta de sua versão minúscula. Além disso, era proibido o uso de outros tipos de caracteres.

Uma forma de avaliar uma alteração no sistema de senhas é a verificação do coeficiente de melhora, que é a razão do novo número de possibilidades de senhas em relação ao antigo. O coeficiente de melhora da alteração recomendada é

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Gabarito oficial (INEP): A

No sistema antigo, a senha tem 6 dígitos, cada um escolhido entre 10 algarismos (0 a 9). O número de possibilidades é 10⁶ = 1 000 000.

No sistema novo, cada posição aceita 26 letras maiúsculas, 26 minúsculas e 10 algarismos, totalizando 62 símbolos. O número de possibilidades é 62⁶ (com repetição permitida, pois a senha pode repetir símbolos).

O coeficiente de melhora é a razão entre o novo e o antigo número de possibilidades: 62⁶ / 10⁶, que corresponde à alternativa A. Esse valor é de cerca de 56 800 vezes.

Conceito cobrado: princípio multiplicativo na contagem de possibilidades e razão entre quantidades.

Por que as outras estão erradas:

  • (B) Usa fatoriais, que servem para arranjos sem repetição; aqui os símbolos podem se repetir.
  • (C) Também usa fatoriais, e a razão não envolve 56!.
  • (D) Usa diferença, e não razão; além disso, a subtração não expressa a melhora em vezes.
  • (E) Usa diferença, o que mede o acréscimo e não a proporção entre as quantidades.

Dica Enem: em contagem de senhas, lembre-se de que cada posição multiplica as possibilidades. E “razão” significa divisão, e não subtração.

Conceitos cobrados: Princípio multiplicativo na contagem; Razão entre quantidades de possibilidades; Diferença entre razão e subtração.

Comentário gerado por IA a partir do gabarito oficial e revisado automaticamente; pode conter erros — o gabarito do INEP prevalece. Dificuldade pelo parâmetro b divulgado pelo INEP nos microdados: 2,06.

Fonte: Prova oficial do Enem (INEP), ano 2013, 2º dia, questão 138.
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