Questão 152 do Enem 2015 comentada

Matemática e suas Tecnologias · Matemática · Função exponencial e logaritmos. Tente responder antes de abrir o gabarito.

  • Enem 2015
  • 2º dia
  • Matemática
  • Matemática
  • Função exponencial e logaritmos
  • Habilidade H19
  • Dificuldade média

O acréscimo de tecnologias no sistema produtivo industrial tem por objetivo reduzir custos e aumentar a produtividade. No primeiro ano de funcionamento, uma indústria fabricou 8 000 unidades de um determinado produto. No ano seguinte, investiu em tecnologia adquirindo novas máquinas e aumentou a produção em 50%. Estima-se que esse aumento percentual se repita nos próximos anos, garantindo um crescimento anual de 50%. Considere P a quantidade anual de produtos fabricados no ano t de funcionamento da indústria. Se a estimativa for alcançada, qual é a expressão que determina o número de unidades produzidas P em função de t, para t ≥1?

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Gabarito oficial (INEP): E

No primeiro ano, a produção é 8 000 unidades. No segundo ano, ela aumenta 50%: 8 000 · 1,5 = 12 000. Como o crescimento de 50% se repete todo ano, cada ano é multiplicado por 1,5 (progressão geométrica de razão 1,5):

  • Ano 1 (t = 1): P = 8 000 = 8 000 · 1,5⁰
  • Ano 2 (t = 2): P = 8 000 · 1,5 = 12 000
  • Ano 3 (t = 3): P = 8 000 · 1,5² = 18 000

Generalizando, P(t) = 8 000 · (1,5)^(t − 1), alternativa E.

As outras estão erradas:

  • A: P(t) = 0,5 · (t − 1) + 8 000 é uma função de crescimento linear, com acréscimo de apenas 0,5 unidade por ano; no ano 2 daria 8 000,5, e não 12 000.
  • B: P(t) = 50 · (t − 1) + 8 000 também é linear, com acréscimo fixo de 50 unidades por ano; no ano 2 daria 8 050.
  • C: P(t) = 4 000 · (t − 1) + 8 000 acerta o ano 2 (12 000), mas é linear: no ano 3 daria 16 000, e não 18 000. O crescimento de 50% ao ano é exponencial, e não um acréscimo fixo.
  • D: usa a base 0,5, que representa redução de 50% ao ano, e não aumento.

Dica Enem: em crescimento percentual constante, o fator é 1 + taxa (aqui, 1,5), e o expoente é t − 1, porque o primeiro ano é a base. Acréscimo fixo por ano gera função linear; percentual constante gera função exponencial.

Conceitos cobrados: Função exponencial e crescimento percentual; Razão de progressão geométrica; Interpretação de situações de crescimento.

Comentário gerado por IA a partir do gabarito oficial e revisado automaticamente; pode conter erros — o gabarito do INEP prevalece. Dificuldade pelo parâmetro b divulgado pelo INEP nos microdados: 1,82.

Fonte: Prova oficial do Enem (INEP), ano 2015, 2º dia, questão 152.
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