Questão 146 do Enem 2022 comentada

Matemática e suas Tecnologias · Matemática · Matrizes, determinantes e sistemas lineares. Tente responder antes de abrir o gabarito.

  • Enem 2022
  • 2º dia
  • Matemática
  • Matemática
  • Matrizes, determinantes e sistemas lineares
  • Habilidade H21
  • Dificuldade difícil

Um parque tem dois circuitos de tamanhos diferentes para corridas. Um corredor treina nesse parque e, no primeiro dia, inicia seu treino percorrendo 3 voltas em torno do circuito maior e 2 voltas em torno do menor, perfazendo um total de 1 800 m. Em seguida, dando continuidade a seu treino, corre mais 2 voltas em torno do circuito maior e 1 volta em torno do menor, percorrendo mais 1 100 m.

No segundo dia, ele pretende percorrer 5 000 m nos circuitos do parque, fazendo um número inteiro de voltas em torno deles e de modo que o número de voltas seja o maior possível. A soma do número de voltas em torno dos dois circuitos, no segundo dia, será

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Gabarito oficial (INEP): E

Chame de M o circuito maior e de m o menor, ambos em metros.

Primeiro dia (sistema):

  • 3M + 2m = 1 800
  • 2M + m = 1 100

Da segunda equação: m = 1 100 − 2M. Substituindo: 3M + 2(1 100 − 2M) = 1 800, logo −M = −400, então M = 400 m e m = 300 m.

Conferência: 3·400 + 2·300 = 1 800 ✓ e 2·400 + 300 = 1 100 ✓.

Segundo dia: 400a + 300b = 5 000, com a e b inteiros. Dividindo por 100: 4a + 3b = 50. Queremos maximizar a + b.

  • Para que 50 − 4a seja divisível por 3, a deve ser 2, 5, 8, 11...
  • a = 2 → b = 14, total 16 voltas (o maior).
  • a = 5 → b = 10, total 15. a = 8 → b = 6, total 14.

Por que as outras estão erradas: o maior total possível é 16, então 10, 13, 14 e 15 não são o máximo.

Dica Enem: em problemas de 'maior número de voltas', use mais voltas no circuito menor, pois ele é o que mais aumenta a contagem. Depois verifique a divisibilidade com as equações diofantinas.

Conceitos cobrados: sistemas lineares 2x2; equação diofantina linear; maximização com inteiros.

Comentário gerado por IA a partir do gabarito oficial e revisado automaticamente; pode conter erros — o gabarito do INEP prevalece. Dificuldade pelo parâmetro b divulgado pelo INEP nos microdados: 2,42.

Fonte: Prova oficial do Enem (INEP), ano 2022, 2º dia, questão 146.
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