Questão 41 · Raciocínio Lógico e Matemática: Estatística descritiva

Gabarito: ERRADO.

Para que duas variáveis aleatórias contínuas X e Y sejam independentes, sua função de densidade conjunta f(x, y) deve ser igual ao produto de suas funções de densidade marginais, ou seja, f(x, y) = f_X(x) * f_Y(y).

No problema, a função de densidade conjunta é dada por f(x, y) = x * y.

Vamos calcular as funções de densidade marginais:

1. f_X(x): Integramos f(x, y) em relação a y, nos limites de 0 a 1. f_X(x) = ∫[de 0 a 1] (x * y) dy = x * [y²/2] (de 0 a 1) = x * (1²/2 - 0²/2) = x * (1/2) = x/2.

2. f_Y(y): Integramos f(x, y) em relação a x, nos limites de 0 a 1. f_Y(y) = ∫[de 0 a 1] (x * y) dx = y * [x²/2] (de 0 a 1) = y * (1²/2 - 0²/2) = y * (1/2) = y/2.

Agora, verificamos se f(x, y) = f_X(x) * f_Y(y):

f_X(x) * f_Y(y) = (x/2) * (y/2) = xy/4.

Como f(x, y) = xy e f_X(x) * f_Y(y) = xy/4, temos que xy ≠ xy/4. Portanto, a condição de independência não é satisfeita.

O item afirma que X e Y são variáveis aleatórias independentes, o que é falso. Elas seriam independentes se a função de densidade conjunta fosse o produto das marginais, o que não ocorre aqui.

Dica: Em questões de independência de variáveis aleatórias, sempre verifique se a função de densidade conjunta pode ser fatorada como o produto das funções de densidade marginais. Se sim, são independentes; caso contrário, não.