Questão 144 do Enem 2012 comentada

Matemática e suas Tecnologias · Matemática · Análise combinatória. Tente responder antes de abrir o gabarito.

  • Enem 2012
  • 2º dia
  • Matemática
  • Matemática
  • Análise combinatória
  • Habilidade H4
  • Dificuldade média

O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa. O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido.

Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta. As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada. O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há

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Gabarito oficial (INEP): A

Cada resposta é uma escolha de um objeto, um personagem e um cômodo. Pelo princípio multiplicativo, o número de respostas distintas é:

5 × 6 × 9 = 270

Como as respostas dos alunos são sempre distintas entre si, 270 alunos já esgotariam todas as respostas possíveis, e uma delas é a correta. Há 280 alunos, ou seja, 280 − 270 = 10 alunos a mais do que respostas distintas, o que garante que algum aluno acertará. Por isso a alternativa A é a correta.

Por que as outras estão erradas:

  • (B) 20 alunos a mais exigiria 290 alunos, e há 280.
  • (C) 119 alunos a mais exigiria 389 alunos, número que não aparece no enunciado.
  • (D) 260 alunos a mais exigiria 530 alunos, número que não aparece no enunciado.
  • (E) 270 alunos a mais exigiria 540 alunos, o que também não corresponde ao enunciado.

Dica Enem: em problemas de 'garantia', calcule o total de possibilidades e compare com o número de participantes. A diferença mostra quantos participantes há a mais do que o necessário para cobrir todas as possibilidades.

Conceitos cobrados: Princípio multiplicativo de contagem; Princípio da casa dos pombos (garantia de acerto); Interpretação de situação-problema com combinações de elementos.

Comentário gerado por IA a partir do gabarito oficial e revisado automaticamente; pode conter erros — o gabarito do INEP prevalece. Dificuldade pelo parâmetro b divulgado pelo INEP nos microdados: 1,07.

Fonte: Prova oficial do Enem (INEP), ano 2012, 2º dia, questão 144.
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