Questão 166 do Enem 2013 comentada

Matemática e suas Tecnologias · Matemática · Função exponencial e logaritmos. Tente responder antes de abrir o gabarito.

  • Enem 2013
  • 2º dia
  • Matemática
  • Matemática
  • Função exponencial e logaritmos
  • Habilidade H21
  • Dificuldade difícil

Em setembro de 1987, Goiânia foi palco do maior acidente radioativo ocorrido no Brasil, quando uma amostra de césio-137, removida de um aparelho de radioterapia abandonado, foi manipulada inadvertidamente por parte da população. A meia-vida de um material radioativo é o tempo necessário para que a massa desse material se reduza à metade. A meia-vida do césio-137 é 30 anos e a quantidade restante de massa de um material radioativo, após t anos, é calculada pela expressão M(t) = A · (2,7)kt, onde A é a massa inicial e k é uma constante negativa. Considere 0,3 como aproximação para log₁₀2. Qual o tempo necessário, em anos, para que uma quantidade de massa do césio-137 se reduza a 10% da quantidade inicial?

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Gabarito oficial (INEP): E

A massa restante é M(t) = A · e^(kt), em que o número 2,7 da expressão é a aproximação do número e. Pela meia-vida de 30 anos, quando t = 30 a massa cai à metade:

(1/2) = e^(30k), logo 30k = ln(1/2) e k = −ln2 / 30.

Para a massa cair a 10% da inicial, M = 0,1A:

0,1 = e^(kt), logo t = ln(10) / (−k) = 30 · ln10 / ln2.

Como ln10 / ln2 = 1 / log₁₀2 = 1 / 0,3 = 10/3, temos t = 30 · 10/3 = 100 anos, alternativa E.

Conceito cobrado: função exponencial, meia-vida e logaritmos.

Por que as outras estão erradas:

  • (A), (B), (C) e (D) são tempos menores que 100 anos. Nesses intervalos a massa ainda é maior que 10% da inicial: por exemplo, em 54 anos restam cerca de (1/2)^1,8 ≈ 29% da massa.

Dica Enem: em meia-vida, use a relação de potências de 1/2 ou o logaritmo. Para descobrir quando a massa cai a uma fração dada, compare os expoentes.

Conceitos cobrados: Função exponencial e meia-vida; Logaritmos e aproximação log 2 ≈ 0,3; Decaimento exponencial.

Comentário gerado por IA a partir do gabarito oficial e revisado automaticamente; pode conter erros — o gabarito do INEP prevalece. Dificuldade pelo parâmetro b divulgado pelo INEP nos microdados: 2,19.

Fonte: Prova oficial do Enem (INEP), ano 2013, 2º dia, questão 166.
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