Questão 161 do Enem 2018 comentada

Matemática e suas Tecnologias · Matemática · Geometria analítica. Tente responder antes de abrir o gabarito.

  • Enem 2018
  • 2º dia
  • Matemática
  • Matemática
  • Geometria analítica
  • Habilidade H22
  • Dificuldade difícil

Para apagar os focos A e B de um incêndio, que estavam a uma distância de 30 m um do outro, os bombeiros de um quartel decidiram se posicionar de modo que a distância de um bombeiro ao foco A, de temperatura mais elevada, fosse sempre o dobro da distância desse bombeiro ao foco B, de temperatura menos elevada. Nestas condições, a maior distância, em metro, que dois bombeiros poderiam ter entre eles é

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Gabarito oficial (INEP): B

Coloque o foco B na origem e o foco A em (30, 0), pois a distância entre eles é 30 m. Um ponto P = (x, y), onde os bombeiros podem se posicionar, satisfaz PA = 2·PB. Elevando ao quadrado:

(x − 30)² + y² = 4(x² + y²) x² − 60x + 900 + y² = 4x² + 4y² 3x² + 3y² + 60x − 900 = 0 x² + y² + 20x − 300 = 0 (x + 10)² + y² = 400

Os bombeiros se posicionam sobre uma circunferência de centro (−10, 0) e raio 20 m. A maior distância entre dois pontos de uma circunferência é o diâmetro: 2 × 20 = 40 m. Por isso a alternativa B é a correta.

  • (A) Errada: 30 m é a distância entre os focos, e não a maior distância entre os bombeiros.
  • (C) Errada: 45 m não é o diâmetro de uma circunferência de raio 20 m.
  • (D) Errada: 60 m não tem relação com a circunferência do lugar geométrico.
  • (E) Errada: 68 m não corresponde ao diâmetro, que é 40 m.

Dica Enem: em lugares geométricos definidos pela razão entre distâncias (círculo de Apolônio), desenvolva a equação e complete o quadrado para achar centro e raio. Depois use o diâmetro para a maior distância.

Conceitos cobrados: Lugar geométrico de pontos com razão de distâncias; Equação reduzida da circunferência; Diâmetro como maior distância entre pontos.

Comentário gerado por IA a partir do gabarito oficial e revisado automaticamente; pode conter erros — o gabarito do INEP prevalece. Dificuldade pelo parâmetro b divulgado pelo INEP nos microdados: 3,46.

Fonte: Prova oficial do Enem (INEP), ano 2018, 2º dia, questão 161.
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