Questão 146 · Matemática (Enem): Aritmética, operações e múltiplos/divisores
Durante a Segunda Guerra Mundial, para decifrarem as mensagens secretas, foi utilizada a técnica de decomposição em fatores primos. Um número N é dado pela expressão 2ˣ ⋅ 5^y ⋅ 7^z, na qual x, y e z são números inteiros não negativos. Sabe-se que N é múltiplo de 10 e não é múltiplo de 7.
O número de divisores de N, diferentes de N, é
- A) x ⋅ y ⋅ z
- B) (x + 1) ⋅ (y + 1)
- C) x ⋅ y ⋅ z − 1
- D) (x + 1) ⋅ (y + 1) ⋅ z
- E) (x + 1) ⋅ (y + 1) ⋅ (z + 1) − 1
Marque a alternativa correta:
Gabarito: E
Gabarito definitivo divulgado pela banca INEP (ENEM 2014).
Comentário
Gabarito: E.
Um número N = 2^x · 5^y · 7^z tem, pelo Teorema Fundamental da Aritmética, (x + 1)(y + 1)(z + 1) divisores positivos. Como a pergunta exclui o próprio N, subtrai-se 1 desse total.
Passo 1: condições do enunciado
- N é múltiplo de 10 = 2 · 5: então x ≥ 1 e y ≥ 1.
- N não é múltiplo de 7: então z = 0, e o fator (z + 1) vale 1.
Passo 2: contar os divisores
- Número de divisores de N = (x + 1)(y + 1)(z + 1)
Passo 3: excluir o próprio N
- Divisores diferentes de N = (x + 1)(y + 1)(z + 1) − 1
A alternativa E traz exatamente essa expressão.
- A: x · y · z não conta divisores (e, com z = 0, daria zero).
- B: (x + 1)(y + 1) conta todos os divisores, inclusive o próprio N, pois não subtrai 1.
- C: x · y · z − 1 não corresponde à contagem de divisores.
- D: (x + 1)(y + 1) · z se anula quando z = 0 e não subtrai N.
Dica Enem: o número de divisores é o produto dos expoentes somados a 1. Não esqueça de subtrair 1 quando a questão exclui o próprio número.
Fundamentos: Decomposição em fatores primos · Número de divisores de um inteiro · Múltiplos e divisores
Comentário gerado pela Cravei IA a partir do enunciado e do gabarito definitivo divulgado pela banca, e conferido por uma verificação automática. A IA pode errar: o gabarito oficial sempre prevalece.
Fonte: prova INEP ENEM 2014 (Enem — 2º dia (Linguagens, Códigos e suas Tecnologias e Matemática e suas Tecnologias)), questão 146, com o gabarito definitivo da banca. Comentário: Equipe Cravei · como fazemos e revisamos.