Questão 159 do Enem 2011 comentada

Matemática e suas Tecnologias · Matemática · Funções (afim e quadrática). Tente responder antes de abrir o gabarito.

  • Enem 2011
  • 2º dia
  • Matemática
  • Matemática
  • Funções (afim e quadrática)
  • Habilidade H23
  • Dificuldade média

O prefeito de uma cidade deseja construir uma rodovia para dar acesso a outro município. Para isso, foi aberta uma licitação na qual concorreram duas empresas. A primeira cobrou R$ 100 000,00 por km construído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ 350 000,00, enquanto a segunda cobrou R$ 120 000,00 por km construído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ 150 000,00. As duas empresas apresentam o mesmo padrão de qualidade dos serviços prestados, mas apenas uma delas poderá ser contratada. Do ponto de vista econômico, qual equação possibilitaria encontrar a extensão da rodovia que tornaria indiferente para a prefeitura escolher qualquer uma das propostas apresentadas?

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Gabarito oficial (INEP): A

O custo de cada empresa é o preço por km multiplicado pela extensão n, somado ao valor fixo:

  • Empresa 1: C₁ = 100 000n + 350 000 (em R$)
  • Empresa 2: C₂ = 120 000n + 150 000 (em R$)

A prefeitura fica indiferente quando C₁ = C₂. Dividindo ambos os lados por 1 000 (unidade de milhares de reais), obtém-se 100n + 350 = 120n + 150.

Conferência: resolvendo, 200 = 20n, então n = 10 km. Com n = 10: 100·10 + 350 = 1 350 e 120·10 + 150 = 1 350 (em mil reais). Os custos são iguais, confirmando a equação.

Por que as outras estão erradas:

  • (B) troca os valores fixos entre as empresas e daria n = −10 km, sem sentido físico.
  • (C) multiplica o valor fixo pelo preço por km, o que não representa o custo total.
  • (D) multiplica o preço por km pela soma com o valor fixo, o que também não representa o custo total.
  • (E) inverte preço por km e valor fixo entre as empresas.

Dica Enem: ao igualar dois custos com parcela fixa e parcela variável, cada parcela deve manter sua posição (preço × km + fixo). Trocar termos é o erro mais comum.

Conceitos cobrados: Função afim como modelo de custo (parcela fixa + parcela variável); Equação do 1º grau e igualdade de funções; Interpretação econômica de ponto de indiferença.

Comentário gerado por IA a partir do gabarito oficial e revisado automaticamente; pode conter erros — o gabarito do INEP prevalece. Dificuldade pelo parâmetro b divulgado pelo INEP nos microdados: 1,68.

Fonte: Prova oficial do Enem (INEP), ano 2011, 2º dia, questão 159.
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