Questão 146 do Enem 2024 comentada

Matemática e suas Tecnologias · Matemática · Funções (afim e quadrática). Tente responder antes de abrir o gabarito.

  • Enem 2024
  • 2º dia
  • Matemática
  • Matemática
  • Funções (afim e quadrática)
  • Habilidade H22
  • Dificuldade difícil

Um fazendeiro pretende construir um galinheiro ocupando uma região plana de formato retangular, com lados de comprimentos L metro e C metro. Os lados serão cercados por telas de tipos diferentes. Nos lados de comprimento L metro, será utilizada uma tela cujo metro linear custa R$ 20,00, enquanto, nos outros dois lados, uma que custa R$ 15,00. O fazendeiro quer gastar, no máximo, R$ 6 000,00 na compra de toda a tela necessária para o galinheiro, e deseja que o galinheiro tenha a maior área possível. Qual será a medida, em metro, do maior lado do galinheiro?

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Gabarito oficial (INEP): B

O galinheiro é retangular, com lados L (de tela de R$ 20,00 por metro) e C (de tela de R$ 15,00 por metro). Há dois lados de cada medida, então o custo total é:

Custo = 2 × 20 × L + 2 × 15 × C = 40L + 30C ≤ 6 000.

A área é A = L × C. Para a área máxima, o custo deve chegar a R$ 6 000,00, então 40L + 30C = 6 000. Isolando C: C = (6 000 − 40L) / 30.

Substituindo na área: A(L) = L(6 000 − 40L)/30. Essa é uma parábola com concavidade para baixo, e seu vértice fica em L = 6 000/80 = 75 m.

Como C = (6 000 − 40 × 75)/30 = (6 000 − 3 000)/30 = 100 m, o maior lado do galinheiro mede 100 m, alternativa B.

Por que as outras estão erradas:

  • A) 85 m não corresponde ao vértice da parábola de área.
  • C) 175 m é um valor de L que faria o custo em tela de L maior que o orçamento permitiria.
  • D) 200 m excede o orçamento: 2 × 20 × 200 = R$ 8 000,00 apenas com os lados de L.
  • E) 350 m é ainda maior e impossível dentro do orçamento.

Dica Enem: em problemas de área máxima com restrição de custo, escreva a área em função de uma variável só, encontre o vértice da parábola e substitua de volta para achar a outra medida.

Conceitos cobrados: Função quadrática e valor máximo; Otimização com restrição de custo; Área de retângulo e sistema de equações lineares.

Comentário gerado por IA a partir do gabarito oficial e revisado automaticamente; pode conter erros — o gabarito do INEP prevalece. Dificuldade pelo parâmetro b divulgado pelo INEP nos microdados: 3,10.

Fonte: Prova oficial do Enem (INEP), ano 2024, 2º dia, questão 146.
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