Questão 167 do Enem 2016 comentada

Matemática e suas Tecnologias · Matemática · Funções (afim e quadrática). Tente responder antes de abrir o gabarito.

  • Enem 2016
  • 2º dia
  • Matemática
  • Matemática
  • Funções (afim e quadrática)
  • Habilidade H21
  • Dificuldade difícil

Um túnel deve ser lacrado com uma tampa de concreto. A seção transversal do túnel e a tampa de concreto têm contornos de um arco de parábola e mesmas dimensões. Para determinar o custo da obra, um engenheiro deve calcular a área sob o arco parabólico em questão. Usando o eixo horizontal no nível do chão e o eixo de simetria da parábola como eixo vertical, obteve a seguinte equação para a parábola:

y = 9 − x2, sendo x e y medidos em metros. Sabe-se que a área sob uma parábola como esta é igual a 2 da área do retângulo cujas dimensões são, 3 respectivamente, iguais à base e à altura da entrada do túnel. Qual é a área da parte frontal da tampa de concreto, em metro quadrado?

Ver gabarito e comentário

Gabarito oficial (INEP): C

A parábola y = 9 - x² tem o eixo horizontal no chão. Ela corta o chão em y = 0, ou seja x = ±3, então a base da entrada mede 6 m. A altura máxima é 9 m, em x = 0. O retângulo de base e altura da entrada tem área 6 × 9 = 54 m².

Pelo enunciado, a área sob a parábola é 2/3 da área desse retângulo (fração que se aplica a qualquer segmento parabólico como este). Logo: 2/3 × 54 = 36 m².

Conferindo pelo cálculo: A = 2 × ∫ de 0 a 3 de (9 - x²) dx = 2 × [9x - x³/3] de 0 a 3 = 2 × (27 - 9) = 36 m².

A parte frontal da tampa tem o mesmo contorno que a seção do túnel, então sua área é 36 m², alternativa C.

  • (A) 18 é metade da área correta.
  • (B) 20 não corresponde a 2/3 do retângulo de 54 m².
  • (D) 45 não resulta de nenhum cálculo correto com esses dados.
  • (E) 54 é a área do retângulo inteiro, e a parábola ocupa só parte dele.

Dica Enem: quando a questão dá uma área como fração de um retângulo, calcule primeiro as dimensões do retângulo (base e altura) e só depois aplique a fração.

Conceitos cobrados: Área sob parábola: 2/3 da área do retângulo circunscrito; Integral definida de função quadrática; Interpretação das dimensões a partir da equação.

Comentário gerado por IA a partir do gabarito oficial e revisado automaticamente; pode conter erros — o gabarito do INEP prevalece. Dificuldade pelo parâmetro b divulgado pelo INEP nos microdados: 2,64.

Fonte: Prova oficial do Enem (INEP), ano 2016, 2º dia, questão 167.
Equipe Cravei · como fazemos e revisamos

Quer saber quanto vale cada acerto? Use a calculadora de nota do Enem (estimativa pela TRI).

Questões parecidas