Questão 165 do Enem 2016 comentada

Matemática e suas Tecnologias · Matemática · Sequências (PA e PG). Tente responder antes de abrir o gabarito.

  • Enem 2016
  • 2º dia
  • Matemática
  • Matemática
  • Sequências (PA e PG)
  • Habilidade H3
  • Dificuldade difícil

Sob a orientação de um mestre de obras, João e Pedro trabalharam na reforma de um edifício. João efetuou reparos na parte hidráulica nos andares 1, 3, 5, 7, e assim sucessivamente, de dois em dois andares. Pedro trabalhou na parte elétrica nos andares 1, 4, 7, 10, e assim sucessivamente, de três em três andares. Coincidentemente, terminaram seus trabalhos no último andar. Na conclusão da reforma, o mestre de obras informou, em seu relatório, o número de andares do edifício. Sabe-se que, ao longo da execução da obra, em exatamente 20 andares, foram realizados reparos nas partes hidráulica e elétrica por João e Pedro. Qual é o número de andares desse edifício?

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Gabarito oficial (INEP): D

João trabalhou nos andares 1, 3, 5, 7, ... (PA de razão 2, todos os ímpares). Pedro trabalhou nos andares 1, 4, 7, 10, ... (PA de razão 3, andares da forma 3k + 1). Os andares com reparos dos dois são os que aparecem nas duas listas.

  1. Andares comuns: 1, 7, 13, 19, ... É uma PA de razão 6, pois o mmc de 2 e 3 é 6.
  2. Como os dois terminaram no último andar, esse andar pertence às duas listas, e o enunciado diz que há exatamente 20 andares comuns. Logo o último andar é o 20º termo da PA comum: a₂₀ = 1 + (20 − 1)·6 = 1 + 114 = 115.

O edifício tem 115 andares, alternativa D.

  • A (40), B (60) e E (120): não pertencem à sequência 1, 7, 13, ... (que só tem números da forma 6k + 1); 40, 60 e 120 são pares, e João só trabalhou em andares ímpares.
  • C (100): também é par, então não é um andar de João e não pode ser o último andar comum; além disso, 100 não tem resto 1 na divisão por 6, logo não está na sequência comum.

Dica Enem: quando duas sequências se encontram, procure o mmc das razões para obter a PA dos termos comuns. A pegadinha é achar que basta multiplicar as razões em vez de usar o mmc.

Conceitos cobrados: Progressão aritmética (PA); Mínimo múltiplo comum; Termo geral da PA: aₙ = a₁ + (n − 1)r.

Comentário gerado por IA a partir do gabarito oficial e revisado automaticamente; pode conter erros — o gabarito do INEP prevalece. Dificuldade pelo parâmetro b divulgado pelo INEP nos microdados: 2,82.

Fonte: Prova oficial do Enem (INEP), ano 2016, 2º dia, questão 165.
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