Questão 158 do Enem 2022 comentada

Matemática e suas Tecnologias · Matemática · Funções (afim e quadrática). Tente responder antes de abrir o gabarito.

  • Enem 2022
  • 2º dia
  • Matemática
  • Matemática
  • Funções (afim e quadrática)
  • Habilidade H23
  • Dificuldade difícil

Ao analisar os dados de uma epidemia em uma cidade, peritos obtiveram um modelo que avalia a quantidade de pessoas infectadas a cada mês, ao longo de um ano. O modelo é dado por p(t) =-−t 2 + 10t + 24, sendo t um número natural, variando de 1 a 12, que representa os meses do ano, e p(t) a quantidade de pessoas infectadas no mês t do ano. Para tentar diminuir o número de infectados no próximo ano, a Secretaria Municipal de Saúde decidiu intensificar a propaganda oficial sobre os cuidados com a epidemia. Foram apresentadas cinco propostas (I, II, III, IV e V), com diferentes períodos de intensificação das propagandas: • I: 1 ≤ t ≤ 2; • II: 3 ≤ t ≤ 4; • III: 5 ≤ t ≤ 6; • IV: 7 ≤ t ≤ 9; • V: 10 ≤ t ≤ 12. A sugestão dos peritos é que seja escolhida a proposta cujo período de intensificação da propaganda englobe o mês em que, segundo o modelo, há a maior quantidade de infectados. A sugestão foi aceita. A proposta escolhida foi a

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Gabarito oficial (INEP): C

O modelo é p(t) = -t² + 10t + 24, uma parábola com concavidade para baixo (a = -1). O máximo ocorre no vértice:

  • t_v = -b/(2a) = -10/(2·(-1)) = 5
  • p(5) = -25 + 50 + 24 = 49 infectados

Como t_v = 5 é inteiro, o mês de maior número de infectados é o 5º. Conferindo os vizinhos: p(4) = -16 + 40 + 24 = 48 e p(6) = -36 + 60 + 24 = 48, ambos menores que 49.

O mês 5 pertence ao período III (5 ≤ t ≤ 6), alternativa C.

Por que as outras estão erradas:

  • (A) I (meses 1 e 2): p(1) = 33 e p(2) = 40, valores ainda crescentes e abaixo do máximo.
  • (B) II (meses 3 e 4): p(3) = 45 e p(4) = 48, abaixo do pico, que não está no período.
  • (D) IV (meses 7 a 9): p(7) = 45, p(8) = 40 e p(9) = 33, já em queda.
  • (E) V (meses 10 a 12): p(10) = 24, p(11) = 13 e p(12) = 0, valores bem baixos.

Dica Enem: em problemas de máximo de função quadrática, calcule o vértice (t = -b/2a) e confira se o resultado é um valor permitido; aqui o mês precisa ser natural, e o vértice já é o inteiro 5.

Conceitos cobrados: Função quadrática e vértice da parábola; Máximo de função com concavidade para baixo; Leitura de intervalos de domínio natural.

Comentário gerado por IA a partir do gabarito oficial e revisado automaticamente; pode conter erros — o gabarito do INEP prevalece. Dificuldade pelo parâmetro b divulgado pelo INEP nos microdados: 2,37.

Fonte: Prova oficial do Enem (INEP), ano 2022, 2º dia, questão 158.
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