Questão 138 · Matemática (Enem): Probabilidade
Visando atrair mais clientes, o gerente de uma loja anunciou uma promoção em que cada cliente que realizar uma compra pode ganhar um voucher para ser usado em sua próxima compra. Para ganhar seu voucher, o cliente precisa retirar, ao acaso, uma bolinha de dentro de cada uma das duas urnas A e B disponibilizadas pelo gerente, nas quais há apenas bolinhas pretas e brancas. Atualmente, a probabilidade de se escolher, ao acaso, uma bolinha preta na urna A é igual a 20% e a probabilidade de se escolher uma bolinha preta na urna B é 25%. Ganha o voucher o cliente que retirar duas bolinhas pretas, uma de cada urna.
Com o passar dos dias, o gerente percebeu que, para a promoção ser viável aos negócios, era preciso alterar a probabilidade de acerto do cliente sem alterar a regra da promoção. Para isso, resolveu alterar a quantidade de bolinhas brancas na urna B de forma que a probabilidade de um cliente ganhar o voucher passasse a ser menor ou igual a 1%. Sabe-se que a urna B tem 4 bolinhas pretas e que, em ambas as urnas, todas as bolinhas têm a mesma probabilidade de serem retiradas.
Qual é o número mínimo de bolinhas brancas que o gerente deve adicionar à urna B?
- A) 20
- B) 60
- C) 64
- D) 68
- E) 80
Marque a alternativa correta:
Gabarito: C
Gabarito definitivo divulgado pela banca INEP (ENEM 2023).
Comentário
Gabarito: C.
Na urna B, a probabilidade de bola preta é 25% e há 4 pretas. Então o total de bolinhas é 4 ÷ 0,25 = 16, com 12 brancas. Na urna A, a probabilidade de bola preta é 20%.
A probabilidade de ganhar o voucher é P = 0,20 × (4 ÷ N), em que N é o total de bolinhas da urna B após a adição de x brancas: N = 16 + x.
A condição é P ≤ 1% = 0,01:
0,20 × 4/(16 + x) ≤ 0,01
0,80/(16 + x) ≤ 0,01
16 + x ≥ 80
x ≥ 64.
Por isso, o número mínimo de bolinhas brancas a adicionar é 64, alternativa C.
Por que as outras estão erradas:
- A) 20 brancas dão 36 bolinhas na urna B, e a probabilidade fica em 0,20 × 4/36 ≈ 2,2%, acima de 1%.
- B) 60 brancas dão 76 bolinhas, e a probabilidade fica em 0,80/76 ≈ 1,05%, ainda acima de 1%.
- D) 68 brancas também atendem à condição, mas não é o mínimo.
- E) 80 brancas também atendem, mas o enunciado pede o mínimo.
Dica Enem: em questões de probabilidade com urnas, monte a probabilidade do evento como produto e isole a incógnita na desigualdade. Quando o enunciado pede o mínimo, teste o limite exato da condição.
Fundamentos: Probabilidade condicional e produto de eventos · Inequações e cálculo do mínimo · Razão entre casos favoráveis e casos possíveis
Comentário gerado pela Cravei IA a partir do enunciado e do gabarito definitivo divulgado pela banca, e conferido por uma verificação automática. A IA pode errar: o gabarito oficial sempre prevalece.
Fonte: prova INEP ENEM 2023 (Enem — 2º dia (Ciências da Natureza e suas Tecnologias e Matemática e suas Tecnologias)), questão 138, com o gabarito definitivo da banca. Comentário: Equipe Cravei · como fazemos e revisamos.