Questão 165 · Matemática (Enem): Análise combinatória
Doze times se inscreveram em um torneio de futebol amador. O jogo de abertura do torneio foi escolhido da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times para compor o Grupo A. Em seguida, entre os times do Grupo
A, foram sorteados 2 times para realizar o jogo de abertura do torneio, sendo que o primeiro deles jogaria em seu próprio campo, e o segundo seria o time visitante.
A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A e a quantidade total de escolhas dos times do jogo de abertura podem ser calculadas através de
- A) uma combinação e um arranjo, respectivamente.
- B) um arranjo e uma combinação, respectivamente.
- C) um arranjo e uma permutação, respectivamente.
- D) duas combinações.
- E) dois arranjos.
Marque a alternativa correta:
Gabarito: A
Gabarito definitivo divulgado pela banca INEP (ENEM 2009).
Comentário
Gabarito: A.
São 12 times, e 4 são sorteados para o Grupo A. Nesse sorteio, a ordem em que os times são escolhidos não importa, pois o grupo é só um conjunto de 4 times. Por isso, usa-se combinação: C(12, 4) = 12! / (4! x 8!) = 495 grupos possíveis.
Já no jogo de abertura, entre os 4 times do Grupo A, são sorteados 2 times, e a ordem importa, porque o primeiro joga em casa e o segundo é o visitante. Por isso, usa-se arranjo: A(4, 2) = 4! / 2! = 12 possibilidades.
Assim, a alternativa A está correta: uma combinação para o grupo e um arranjo para o jogo de abertura.
- B) Errada: a ordem dos times no grupo não importa, e a escolha do grupo é uma combinação, e não um arranjo.
- C) Errada: permutação seria usada se todos os elementos fossem ordenados, o que não ocorre aqui.
- D) Errada: no jogo de abertura a ordem importa, então não é combinação.
- E) Errada: o sorteio do grupo não considera a ordem, por isso não é arranjo.
Dica Enem: para escolher a combinação ou o arranjo, pergunte se a ordem muda o resultado. Se muda, é arranjo; se não muda, é combinação.
Fundamentos: Combinação e arranjo · Princípio fundamental da contagem · Análise combinatória em situações de sorteio
Comentário gerado pela Cravei IA a partir do enunciado e do gabarito definitivo divulgado pela banca, e conferido por uma verificação automática. A IA pode errar: o gabarito oficial sempre prevalece.
Fonte: prova INEP ENEM 2009 (Enem — 2º dia (Linguagens, Códigos e suas Tecnologias e Matemática e suas Tecnologias)), questão 165, com o gabarito definitivo da banca. Comentário: Equipe Cravei · como fazemos e revisamos.