Questão 175 · Matemática (Enem): Análise combinatória
Um pai comprou oito presentes diferentes (dentre os quais, uma bicicleta e um celular) para dar a seus três filhos. Ele pretende distribuir os presentes de modo que o filho mais velho e o mais novo recebam três presentes cada um, e o do meio receba os dois presentes restantes. O mais velho ganhará, entre seus presentes, ou uma bicicleta ou um celular, mas não ambos.
De quantas maneiras distintas a distribuição dos presentes pode ser feita?
- A) 36
- B) 53
- C) 300
- D) 360
- E) 560
Marque a alternativa correta:
Gabarito: C
Gabarito definitivo divulgado pela banca INEP (ENEM 2025).
Comentário
Gabarito: C.
O filho mais velho recebe 3 presentes, com exatamente um entre a bicicleta e o celular.
Passo 1: presentes do mais velho
- Escolher qual dos dois (bicicleta ou celular) ele recebe: 2 maneiras
- Escolher os outros 2 presentes entre os 6 que não são nem bicicleta nem celular: C(6,2) = 15
- Total: 2 · 15 = 30
Passo 2: os demais
- Restam 5 presentes.
- O mais novo recebe 3 deles: C(5,3) = 10
- Os 2 restantes vão para o filho do meio (1 maneira).
Passo 3: 30 · 10 = 300 maneiras.
Sobre as demais alternativas:
- E (560): é C(8,3) · C(5,3) = 56 · 10, a contagem sem a restrição da bicicleta e do celular para o mais velho.
- A, B e D: não correspondem à contagem correta; as escolhas são sequenciais e independentes, então os resultados parciais (30 e 10) devem ser multiplicados.
Dica Enem: em distribuições com grupos de tamanhos fixos, faça as escolhas em sequência com combinações e multiplique. Trate primeiro a restrição (exatamente um de dois itens) e depois distribua o restante.
Fundamentos: Análise combinatória: combinações · Princípio multiplicativo · Contagem com restrições
Comentário gerado pela Cravei IA a partir do enunciado e do gabarito definitivo divulgado pela banca, e conferido por uma verificação automática. A IA pode errar: o gabarito oficial sempre prevalece.
Fonte: prova INEP ENEM 2025 (Enem — 2º dia (Ciências da Natureza e suas Tecnologias e Matemática e suas Tecnologias)), questão 175, com o gabarito definitivo da banca. Comentário: Equipe Cravei · como fazemos e revisamos.