Questão 163 · Matemática (Enem): Análise combinatória

Gabarito: E.

A frase "I AM POTTER" tem 9 letras: I, A, M, P, O, T, T, E, R.

• Vogais (4): I, A, O, E.
• Consoantes (5): M, P, T, T, R.

Para que vogais e consoantes fiquem sempre intercaladas em 9 posições, com 5 consoantes e 4 vogais, só existe um padrão possível: C V C V C V C V C. As consoantes ocupam as posições 1, 3, 5, 7 e 9, e as vogais ocupam as posições 2, 4, 6 e 8. Começar por vogal é impossível, pois faltariam posições para as 5 consoantes.

• Vogais: 4! = 24 formas de arrumá-las nas 4 posições.
• Consoantes: são 5 letras com o T repetido duas vezes, então o número de arrumações distintas é 5!/2! = 60.

Total: 4! · 5!/2, que é a alternativa E.

Por que as outras estão erradas:

• A) 9! ignora a exigência de intercalação e a repetição do T.
• B) 4! · 5! esquece de dividir por 2 para descontar a troca entre os dois T, que não gera anagrama novo.
• C) 2 × 4! · 5! multiplica por 2 como se houvesse dois padrões, mas só existe o padrão que começa e termina em consoante.
• D) 9!/2 considera apenas a repetição do T e ignora a restrição de intercalação.

Dica Enem: em anagramas com letras alternadas, compare as quantidades de cada grupo para ver quantos padrões são possíveis, e lembre de dividir por n! quando uma letra se repete n vezes.