Questão 138 · Matemática (Enem): Análise combinatória
Um banco solicitou aos seus clientes a criação de uma senha pessoal de seis dígitos, formada somente por algarismos de 0 a 9, para acesso à conta corrente pela internet.
Entretanto, um especialista em sistemas de segurança eletrônica recomendou à direção do banco recadastrar seus usuários, solicitando, para cada um deles, a criação de uma nova senha com seis dígitos, permitindo agora o uso das 26 letras do alfabeto, além dos algarismos de 0 a 9. Nesse novo sistema, cada letra maiúscula era considerada distinta de sua versão minúscula. Além disso, era proibido o uso de outros tipos de caracteres.
Uma forma de avaliar uma alteração no sistema de senhas é a verificação do coeficiente de melhora, que é a razão do novo número de possibilidades de senhas em relação ao antigo.
O coeficiente de melhora da alteração recomendada é
- A) 62⁶ 106
- B) 62! 10! 62! 4!
- C) 10! 56!
- D) 62! − 10!
- E) 626 − 106
Marque a alternativa correta:
Gabarito: A
Gabarito definitivo divulgado pela banca INEP (ENEM 2013).
Comentário
Gabarito: A.
No sistema antigo, a senha tem 6 dígitos, cada um escolhido entre 10 algarismos (0 a 9). O número de possibilidades é 10⁶ = 1 000 000.
No sistema novo, cada posição aceita 26 letras maiúsculas, 26 minúsculas e 10 algarismos, totalizando 62 símbolos. O número de possibilidades é 62⁶ (com repetição permitida, pois a senha pode repetir símbolos).
O coeficiente de melhora é a razão entre o novo e o antigo número de possibilidades: 62⁶ / 10⁶, que corresponde à alternativa A. Esse valor é de cerca de 56 800 vezes.
Conceito cobrado: princípio multiplicativo na contagem de possibilidades e razão entre quantidades.
Por que as outras estão erradas:
- (B) Usa fatoriais, que servem para arranjos sem repetição; aqui os símbolos podem se repetir.
- (C) Também usa fatoriais, e a razão não envolve 56!.
- (D) Usa diferença, e não razão; além disso, a subtração não expressa a melhora em vezes.
- (E) Usa diferença, o que mede o acréscimo e não a proporção entre as quantidades.
Dica Enem: em contagem de senhas, lembre-se de que cada posição multiplica as possibilidades. E “razão” significa divisão, e não subtração.
Fundamentos: Princípio multiplicativo na contagem · Razão entre quantidades de possibilidades · Diferença entre razão e subtração
Comentário gerado pela Cravei IA a partir do enunciado e do gabarito definitivo divulgado pela banca, e conferido por uma verificação automática. A IA pode errar: o gabarito oficial sempre prevalece.
Fonte: prova INEP ENEM 2013 (Enem — 2º dia (Linguagens, Códigos e suas Tecnologias e Matemática e suas Tecnologias)), questão 138, com o gabarito definitivo da banca. Comentário: Equipe Cravei · como fazemos e revisamos.