Questão 168 · Matemática (Enem): Análise combinatória
Para cadastrar-se em um site, uma pessoa precisa escolher uma senha composta por quatro caracteres, sendo dois algarismos e duas letras (maiúsculas ou minúsculas). As letras e os algarismos podem estar em qualquer posição. Essa pessoa sabe que o alfabeto é composto por vinte e seis letras e que uma letra maiúscula difere da minúscula em uma senha.
Disponível em: www.infowester.com. Acesso em: 14 dez. 2012.
O número total de senhas possíveis para o cadastramento nesse site é dado por
- A) 102 . 262
- B) 102 . 522
- C) 102 . 522 . 4! 2! 4!
- D) 10² . 26² . 2! . 2! 4!
- E) 10² . 52² . 2! . 2!
Marque a alternativa correta:
Gabarito: E
Gabarito definitivo divulgado pela banca INEP (ENEM 2016).
Comentário
Gabarito: E.
A senha tem 4 caracteres: 2 algarismos e 2 letras, em qualquer posição.
- Escolha dos caracteres: cada algarismo tem 10 opções (0 a 9), então os dois algarismos dão 10² = 100 possibilidades. Cada letra pode ser maiúscula ou minúscula, então são 26 × 2 = 52 opções por letra, e as duas letras dão 52² = 2 704 possibilidades.
- Posições: os 2 algarismos e as 2 letras podem ocupar as 4 posições em qualquer ordem. O número de arranjos de 4 posições com dois tipos repetidos é a permutação com repetição: 4! / (2! · 2!) = 6.
Total: 10² · 52² · 4! / (2! · 2!) = 100 · 2 704 · 6 = 1 622 400 senhas. Esse é o resultado da alternativa E.
- A: usa 26 letras e ignora a diferença entre maiúscula e minúscula (52 opções) e também as posições.
- B: acerta os 52 por letra, mas esquece que algarismos e letras podem ser embaralhados nas 4 posições.
- C e D: erram o fator das posições ou a quantidade de opções por letra: a contagem correta usa 52 (e não 26) e divide 4! por 2! · 2!, as permutações dos dois algarismos e das duas letras repetidos.
Dica Enem: em senhas com tipos de caracteres misturados, conte (1) as opções de cada caractere (maiúsculas e minúsculas somam 52) e (2) as posições possíveis, com a permutação com repetição.
Fundamentos: Princípio multiplicativo da contagem · Permutação e ordem dentro de grupos · Diferença entre maiúsculas e minúsculas em senhas
Comentário gerado pela Cravei IA a partir do enunciado e do gabarito definitivo divulgado pela banca, e conferido por uma verificação automática. A IA pode errar: o gabarito oficial sempre prevalece.
Fonte: prova INEP ENEM 2016 (Enem — 2º dia (Linguagens, Códigos e suas Tecnologias e Matemática e suas Tecnologias)), questão 168, com o gabarito definitivo da banca. Comentário: Equipe Cravei · como fazemos e revisamos.