Questão 155 · Matemática (Enem): Análise combinatória
Dez casais fundaram um grupo de dança e decidiram constituir uma diretoria com três cargos: presidente, secretário e tesoureiro. Para maior representatividade, decidiu-se que no máximo uma pessoa por casal poderá ocupar um cargo nessa diretoria.
Quantas diretorias diferentes podem ser constituídas por esses 10 casais?
- A) 10 × 9 × 8
- B) 20 × 18 × 16
- C) 20 × 19 × 18
- D) 10 × 9 × 8 × 2
- E) 20 × 18 × 16 × 2
Marque a alternativa correta:
Gabarito: B
Gabarito definitivo divulgado pela banca INEP (ENEM 2025).
Comentário
Gabarito: B.
São 10 casais, ou seja, 20 pessoas. A regra é que no máximo uma pessoa por casal ocupe cargo. Assim, ao preencher os três cargos, cada escolha exclui o cônjuge da pessoa já escolhida, quando ele tem de ser excluído.
A contagem em ordem:
- Presidente: qualquer uma das 20 pessoas → 20 escolhas.
- Secretário: não pode ser o cônjuge do presidente, então sobram 20 − 2 = 18 escolhas.
- Tesoureiro: não podem ser o cônjuge do presidente nem do secretário, então sobram 20 − 4 = 16 escolhas.
Total: 20 × 18 × 16 diretorias.
As demais alternativas estão erradas:
- (A) 10 × 9 × 8: conta 10 casais como se fossem 10 pessoas, ignorando que cada casal tem duas pessoas.
- (C) 20 × 19 × 18: não exclui os cônjuges, o que violaria a regra.
- (D) 10 × 9 × 8 × 2: aplica um fator extra sem justificativa.
- (E) 20 × 18 × 16 × 2: o fator 2 é indevido, pois a ordem dos cargos já está fixada na contagem.
Dica Enem: em questões com restrição de 'não mais de um por grupo', escolha primeiro o elemento que impõe a restrição e depois exclua todos os elementos proibidos a cada passo.
Fundamentos: Análise combinatória: princípio multiplicativo · Arranjos com restrição · Contagem com exclusão de elementos proibidos
Comentário gerado pela Cravei IA a partir do enunciado e do gabarito definitivo divulgado pela banca, e conferido por uma verificação automática. A IA pode errar: o gabarito oficial sempre prevalece.
Fonte: prova INEP ENEM 2025 (Enem — 2º dia (Ciências da Natureza e suas Tecnologias e Matemática e suas Tecnologias)), questão 155, com o gabarito definitivo da banca. Comentário: Equipe Cravei · como fazemos e revisamos.