Questão 159 · Matemática (Enem): Funções (afim e quadrática)
O prefeito de uma cidade deseja construir uma rodovia para dar acesso a outro município. Para isso, foi aberta uma licitação na qual concorreram duas empresas. A primeira cobrou R$ 100 000,00 por km construído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ 350 000,00, enquanto a segunda cobrou R$ 120 000,00 por km construído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ 150 000,00. As duas empresas apresentam o mesmo padrão de qualidade dos serviços prestados, mas apenas uma delas poderá ser contratada.
Do ponto de vista econômico, qual equação possibilitaria encontrar a extensão da rodovia que tornaria indiferente para a prefeitura escolher qualquer uma das propostas apresentadas?
- A) 100n + 350 = 120n + 150
- B) 100n + 150 = 120n + 350
- C) 100(n + 350) = 120(n + 150)
- D) 100(n + 350 000) = 120(n + 150 000)
- E) 350(n + 100 000) = 150(n + 120 000)
Marque a alternativa correta:
Gabarito: A
Gabarito definitivo divulgado pela banca INEP (ENEM 2011).
Comentário
Gabarito: A.
O custo de cada empresa é o preço por km multiplicado pela extensão n, somado ao valor fixo:
- Empresa 1: C₁ = 100 000n + 350 000 (em R$)
- Empresa 2: C₂ = 120 000n + 150 000 (em R$)
A prefeitura fica indiferente quando C₁ = C₂. Dividindo ambos os lados por 1 000 (unidade de milhares de reais), obtém-se 100n + 350 = 120n + 150.
Conferência: resolvendo, 200 = 20n, então n = 10 km. Com n = 10: 100·10 + 350 = 1 350 e 120·10 + 150 = 1 350 (em mil reais). Os custos são iguais, confirmando a equação.
Por que as outras estão erradas:
- (B) troca os valores fixos entre as empresas e daria n = −10 km, sem sentido físico.
- (C) multiplica o valor fixo pelo preço por km, o que não representa o custo total.
- (D) multiplica o preço por km pela soma com o valor fixo, o que também não representa o custo total.
- (E) inverte preço por km e valor fixo entre as empresas.
Dica Enem: ao igualar dois custos com parcela fixa e parcela variável, cada parcela deve manter sua posição (preço × km + fixo). Trocar termos é o erro mais comum.
Fundamentos: Função afim como modelo de custo (parcela fixa + parcela variável) · Equação do 1º grau e igualdade de funções · Interpretação econômica de ponto de indiferença
Comentário gerado pela Cravei IA a partir do enunciado e do gabarito definitivo divulgado pela banca, e conferido por uma verificação automática. A IA pode errar: o gabarito oficial sempre prevalece.
Fonte: prova INEP ENEM 2011 (Enem — 2º dia (Linguagens, Códigos e suas Tecnologias e Matemática e suas Tecnologias)), questão 159, com o gabarito definitivo da banca. Comentário: Equipe Cravei · como fazemos e revisamos.