Questão 146 · Matemática (Enem): Funções (afim e quadrática)
Um fazendeiro pretende construir um galinheiro ocupando uma região plana de formato retangular, com lados de comprimentos L metro e C metro. Os lados serão cercados por telas de tipos diferentes. Nos lados de comprimento L metro, será utilizada uma tela cujo metro linear custa R$ 20,00, enquanto, nos outros dois lados, uma que custa R$ 15,00. O fazendeiro quer gastar, no máximo, R$ 6 000,00 na compra de toda a tela necessária para o galinheiro, e deseja que o galinheiro tenha a maior área possível.
Qual será a medida, em metro, do maior lado do galinheiro?
- A) 85
- B) 100
- C) 175
- D) 200
- E) 350
Marque a alternativa correta:
Gabarito: B
Gabarito definitivo divulgado pela banca INEP (ENEM 2024).
Comentário
Gabarito: B.
O galinheiro é retangular, com lados L (de tela de R$ 20,00 por metro) e C (de tela de R$ 15,00 por metro). Há dois lados de cada medida, então o custo total é:
Custo = 2 × 20 × L + 2 × 15 × C = 40L + 30C ≤ 6 000.
A área é A = L × C. Para a área máxima, o custo deve chegar a R$ 6 000,00, então 40L + 30C = 6 000. Isolando C: C = (6 000 − 40L) / 30.
Substituindo na área: A(L) = L(6 000 − 40L)/30. Essa é uma parábola com concavidade para baixo, e seu vértice fica em L = 6 000/80 = 75 m.
Como C = (6 000 − 40 × 75)/30 = (6 000 − 3 000)/30 = 100 m, o maior lado do galinheiro mede 100 m, alternativa B.
Por que as outras estão erradas:
- A) 85 m não corresponde ao vértice da parábola de área.
- C) 175 m é um valor de L que faria o custo em tela de L maior que o orçamento permitiria.
- D) 200 m excede o orçamento: 2 × 20 × 200 = R$ 8 000,00 apenas com os lados de L.
- E) 350 m é ainda maior e impossível dentro do orçamento.
Dica Enem: em problemas de área máxima com restrição de custo, escreva a área em função de uma variável só, encontre o vértice da parábola e substitua de volta para achar a outra medida.
Fundamentos: Função quadrática e valor máximo · Otimização com restrição de custo · Área de retângulo e sistema de equações lineares
Comentário gerado pela Cravei IA a partir do enunciado e do gabarito definitivo divulgado pela banca, e conferido por uma verificação automática. A IA pode errar: o gabarito oficial sempre prevalece.
Fonte: prova INEP ENEM 2024 (Enem — 2º dia (Ciências da Natureza e suas Tecnologias e Matemática e suas Tecnologias)), questão 146, com o gabarito definitivo da banca. Comentário: Equipe Cravei · como fazemos e revisamos.