Questão 167 · Matemática (Enem): Funções (afim e quadrática)
Um túnel deve ser lacrado com uma tampa de concreto. A seção transversal do túnel e a tampa de concreto têm contornos de um arco de parábola e mesmas dimensões. Para determinar o custo da obra, um engenheiro deve calcular a área sob o arco parabólico em questão. Usando o eixo horizontal no nível do chão e o eixo de simetria da parábola como eixo vertical, obteve a seguinte equação para a parábola:
y = 9 − x2, sendo x e y medidos em metros.
Sabe-se que a área sob uma parábola como esta é igual a 2 da área do retângulo cujas dimensões são, 3 respectivamente, iguais à base e à altura da entrada do túnel. Qual é a área da parte frontal da tampa de concreto, em metro quadrado?
- A) 18
- B) 20
- C) 36
- D) 45
- E) 54
Marque a alternativa correta:
Gabarito: C
Gabarito definitivo divulgado pela banca INEP (ENEM 2016).
Comentário
Gabarito: C.
A parábola y = 9 - x² tem o eixo horizontal no chão. Ela corta o chão em y = 0, ou seja x = ±3, então a base da entrada mede 6 m. A altura máxima é 9 m, em x = 0. O retângulo de base e altura da entrada tem área 6 × 9 = 54 m².
Pelo enunciado, a área sob a parábola é 2/3 da área desse retângulo (fração que se aplica a qualquer segmento parabólico como este). Logo: 2/3 × 54 = 36 m².
Conferindo pelo cálculo: A = 2 × ∫ de 0 a 3 de (9 - x²) dx = 2 × [9x - x³/3] de 0 a 3 = 2 × (27 - 9) = 36 m².
A parte frontal da tampa tem o mesmo contorno que a seção do túnel, então sua área é 36 m², alternativa C.
- (A) 18 é metade da área correta.
- (B) 20 não corresponde a 2/3 do retângulo de 54 m².
- (D) 45 não resulta de nenhum cálculo correto com esses dados.
- (E) 54 é a área do retângulo inteiro, e a parábola ocupa só parte dele.
Dica Enem: quando a questão dá uma área como fração de um retângulo, calcule primeiro as dimensões do retângulo (base e altura) e só depois aplique a fração.
Fundamentos: Área sob parábola: 2/3 da área do retângulo circunscrito · Integral definida de função quadrática · Interpretação das dimensões a partir da equação
Comentário gerado pela Cravei IA a partir do enunciado e do gabarito definitivo divulgado pela banca, e conferido por uma verificação automática. A IA pode errar: o gabarito oficial sempre prevalece.
Fonte: prova INEP ENEM 2016 (Enem — 2º dia (Linguagens, Códigos e suas Tecnologias e Matemática e suas Tecnologias)), questão 167, com o gabarito definitivo da banca. Comentário: Equipe Cravei · como fazemos e revisamos.