Questão 174 · Matemática (Enem): Análise combinatória
O setor de recursos humanos de uma empresa vai realizar uma entrevista com 120 candidatos a uma vaga de contador. Por sorteio, eles pretendem atribuir a cada candidato um número, colocar a lista de números em ordem numérica crescente e usá-la para convocar os interessados. Acontece que, por um defeito do computador, foram gerados números com 5 algarismos distintos e, em nenhum deles, apareceram dígitos pares. Em razão disso, a ordem de chamada do candidato que tiver recebido o número 75 913 é
- A) 24.
- B) 31.
- C) 32.
- D) 88.
- E) 89.
Marque a alternativa correta:
Gabarito: E
Gabarito definitivo divulgado pela banca INEP (ENEM 2011).
Comentário
Gabarito: E.
Os números são de 5 algarismos distintos, todos ímpares (já que nenhum par aparece). Os dígitos disponíveis são {1, 3, 5, 7, 9}. Queremos a posição do número 75 913 na ordem crescente, ou seja, quantos números desse tipo são menores que ele, mais 1.
Passo 1: números com primeiro algarismo 1, 3 ou 5. Cada um desses começa um número menor que 7xxxx. Para cada primeiro dígito, sobram 4 dígitos para 4 posições: 4! = 24. Total: 3 × 24 = 72.
Passo 2: primeiro algarismo 7. Os números começam com 7 e são menores que 75 913 se o segundo algarismo for menor que 5 (1 ou 3), ou se o segundo for 5 e o restante ficar abaixo de 913.
- Segundo algarismo 1: 3! = 6 números (todos menores, pois 71 < 75).
- Segundo algarismo 3: 3! = 6 números (73 < 75).
- Segundo algarismo 5: restam {1, 3, 9}. Terceiro algarismo 1 ou 3 (menor que 9) dá 2 × 2 = 4 números. Terceiro algarismo 9 leva a 759xx, com restantes {1, 3}; só 75913 seria igual e não há menores. Total: 4.
Somando: 72 + 6 + 6 + 4 = 88 números menores que 75 913.
Passo 3: o número 75 913 ocupa a posição 88 + 1 = 89.
- (A) 24 e (B) 31 não correspondem à contagem.
- (C) 32 erra a contagem dos números que começam com 1, 3 ou 5.
- (D) 88 é a quantidade de números anteriores, não a posição do candidato.
Dica Enem: em problemas de posição, conte quantos elementos vêm antes e some 1; não esqueça que a contagem começa no primeiro item da lista.
Fundamentos: Análise combinatória: permutações de algarismos com restrição de paridade · Contagem por ordem lexicográfica para determinar a posição de um elemento
Comentário gerado pela Cravei IA a partir do enunciado e do gabarito definitivo divulgado pela banca, e conferido por uma verificação automática. A IA pode errar: o gabarito oficial sempre prevalece.
Fonte: prova INEP ENEM 2011 (Enem — 2º dia (Linguagens, Códigos e suas Tecnologias e Matemática e suas Tecnologias)), questão 174, com o gabarito definitivo da banca. Comentário: Equipe Cravei · como fazemos e revisamos.