Questão 144 · Matemática (Enem): Análise combinatória
O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa. O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido.
Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta. As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada.
O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há
- A) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
- B) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
- C) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
- D) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
- E) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
Marque a alternativa correta:
Gabarito: A
Gabarito definitivo divulgado pela banca INEP (ENEM 2012).
Comentário
Gabarito: A.
Cada resposta é uma escolha de um objeto, um personagem e um cômodo. Pelo princípio multiplicativo, o número de respostas distintas é:
5 × 6 × 9 = 270
Como as respostas dos alunos são sempre distintas entre si, 270 alunos já esgotariam todas as respostas possíveis, e uma delas é a correta. Há 280 alunos, ou seja, 280 − 270 = 10 alunos a mais do que respostas distintas, o que garante que algum aluno acertará. Por isso a alternativa A é a correta.
Por que as outras estão erradas:
- (B) 20 alunos a mais exigiria 290 alunos, e há 280.
- (C) 119 alunos a mais exigiria 389 alunos, número que não aparece no enunciado.
- (D) 260 alunos a mais exigiria 530 alunos, número que não aparece no enunciado.
- (E) 270 alunos a mais exigiria 540 alunos, o que também não corresponde ao enunciado.
Dica Enem: em problemas de 'garantia', calcule o total de possibilidades e compare com o número de participantes. A diferença mostra quantos participantes há a mais do que o necessário para cobrir todas as possibilidades.
Fundamentos: Princípio multiplicativo de contagem · Princípio da casa dos pombos (garantia de acerto) · Interpretação de situação-problema com combinações de elementos
Comentário gerado pela Cravei IA a partir do enunciado e do gabarito definitivo divulgado pela banca, e conferido por uma verificação automática. A IA pode errar: o gabarito oficial sempre prevalece.
Fonte: prova INEP ENEM 2012 (Enem — 2º dia (Linguagens, Códigos e suas Tecnologias e Matemática e suas Tecnologias)), questão 144, com o gabarito definitivo da banca. Comentário: Equipe Cravei · como fazemos e revisamos.