Questão 166 · Matemática (Enem): Função exponencial e logaritmos
Em setembro de 1987, Goiânia foi palco do maior acidente radioativo ocorrido no Brasil, quando uma amostra de césio-137, removida de um aparelho de radioterapia abandonado, foi manipulada inadvertidamente por parte da população. A meia-vida de um material radioativo é o tempo necessário para que a massa desse material se reduza à metade. A meia-vida do césio-137 é 30 anos e a quantidade restante de massa de um material radioativo, após t anos, é calculada pela expressão M(t) = A · (2,7)kt, onde A é a massa inicial e k é uma constante negativa. Considere 0,3 como aproximação para log₁₀2.
Qual o tempo necessário, em anos, para que uma quantidade de massa do césio-137 se reduza a 10% da quantidade inicial?
- A) 27
- B) 36
- C) 50
- D) 54
- E) 100
Marque a alternativa correta:
Gabarito: E
Gabarito definitivo divulgado pela banca INEP (ENEM 2013).
Comentário
Gabarito: E.
A massa restante é M(t) = A · e^(kt), em que o número 2,7 da expressão é a aproximação do número e. Pela meia-vida de 30 anos, quando t = 30 a massa cai à metade:
(1/2) = e^(30k), logo 30k = ln(1/2) e k = −ln2 / 30.
Para a massa cair a 10% da inicial, M = 0,1A:
0,1 = e^(kt), logo t = ln(10) / (−k) = 30 · ln10 / ln2.
Como ln10 / ln2 = 1 / log₁₀2 = 1 / 0,3 = 10/3, temos t = 30 · 10/3 = 100 anos, alternativa E.
Conceito cobrado: função exponencial, meia-vida e logaritmos.
Por que as outras estão erradas:
- (A), (B), (C) e (D) são tempos menores que 100 anos. Nesses intervalos a massa ainda é maior que 10% da inicial: por exemplo, em 54 anos restam cerca de (1/2)^1,8 ≈ 29% da massa.
Dica Enem: em meia-vida, use a relação de potências de 1/2 ou o logaritmo. Para descobrir quando a massa cai a uma fração dada, compare os expoentes.
Fundamentos: Função exponencial e meia-vida · Logaritmos e aproximação log 2 ≈ 0,3 · Decaimento exponencial
Comentário gerado pela Cravei IA a partir do enunciado e do gabarito definitivo divulgado pela banca, e conferido por uma verificação automática. A IA pode errar: o gabarito oficial sempre prevalece.
Fonte: prova INEP ENEM 2013 (Enem — 2º dia (Linguagens, Códigos e suas Tecnologias e Matemática e suas Tecnologias)), questão 166, com o gabarito definitivo da banca. Comentário: Equipe Cravei · como fazemos e revisamos.