Questão 174 · Matemática (Enem): Função exponencial e logaritmos
Com o avanço em ciência da computação, estamos próximos do momento em que o número de transistores no processador de um computador pessoal será da mesma ordem de grandeza que o número de neurônios em um cérebro humano, que é da ordem de 100 bilhões.
Uma das grandezas determinantes para o desempenho de um processador é a densidade de transistores, que é o número de transistores por centímetro quadrado. Em 1986, uma empresa fabricava um processador contendo 100 000 transistores distribuídos em 0,25 cm2 de área. Desde então, o número de transistores por centímetro quadrado que se pode colocar em um processador dobra a cada dois anos (Lei de Moore).
Disponível em: www.pocket-lint.com. Acesso em: 1 dez. 2017 (adaptado).
Considere 0,30 como aproximação para log₁₀2.
Em que ano a empresa atingiu ou atingirá a densidade de 100 bilhões de transistores?
- A) 1999
- B) 2002
- C) 2022
- D) 2026
- E) 2146
Marque a alternativa correta:
Gabarito: C
Gabarito definitivo divulgado pela banca INEP (ENEM 2018).
Comentário
Gabarito: C.
Em 1986, a densidade era de 100 000 transistores ÷ 0,25 cm² = 400 000 transistores por cm², ou 4 × 10⁵. A meta é 100 bilhões, ou 10¹¹, por cm². Como a densidade dobra a cada 2 anos, sendo n o número de dobramentos:
4 × 10⁵ × 2ⁿ = 10¹¹ 2ⁿ = 10¹¹ ÷ (4 × 10⁵) = 2,5 × 10⁵
Aplicando log₁₀ com log₁₀2 ≈ 0,30:
n × 0,30 = log₁₀(2,5 × 10⁵) = log₁₀(10 ÷ 4) + 5 = 1 − 2 × 0,30 + 5 = 5,40 n = 5,40 ÷ 0,30 = 18 dobramentos
Cada dobramento leva 2 anos, então são 18 × 2 = 36 anos após 1986: 1986 + 36 = 2022, alternativa C. Veja as outras:
- (A) Errada: em 1999 houve apenas 6 dobramentos, e a densidade ainda ficaria muito abaixo da meta.
- (B) Errada: em 2002 houve 8 dobramentos, com densidade de cerca de 10⁸ por cm², ainda longe de 10¹¹.
- (D) Errada: em 2026 a meta já teria sido ultrapassada, mas o ano em que ela é atingida é 2022.
- (E) Errada: 2146 é muito posterior, com 80 dobramentos.
Dica Enem: em crescimento exponencial com logaritmo, divida a meta pelo valor inicial para achar a potência de 2. Depois aplique log, usando os valores aproximados dados no enunciado.
Fundamentos: Função exponencial e crescimento por dobramento · Logaritmos e propriedades · Notação científica
Comentário gerado pela Cravei IA a partir do enunciado e do gabarito definitivo divulgado pela banca, e conferido por uma verificação automática. A IA pode errar: o gabarito oficial sempre prevalece.
Fonte: prova INEP ENEM 2018 (Enem — 2º dia (Ciências da Natureza e suas Tecnologias e Matemática e suas Tecnologias)), questão 174, com o gabarito definitivo da banca. Comentário: Equipe Cravei · como fazemos e revisamos.