Questão 172 · Matemática (Enem): Função exponencial e logaritmos
Um empresário utiliza máquinas cuja pressão interna P, em atmosfera, depende do tempo contínuo de utilização t, em hora, e de um parâmetro positivo K, que define o modelo da máquina, segundo a expressão:
P = 4 ⋅ log[−K ⋅ (t + 1) ⋅ (t − 19)]
O fabricante dessas máquinas recomenda ao usuário que a pressão interna desse tipo de máquina não ultrapasse 10 atmosferas durante seu funcionamento.
O empresário pretende comprar novas máquinas desse tipo que deverão funcionar, diariamente, por um período contínuo de 10 horas. Para isso, precisa definir o modelo de máquina a ser adquirida escolhendo o maior valor possível do parâmetro K, atendendo à recomendação do fabricante. O maior valor a ser escolhido para K é
- A) 10^(0,5)
- B) 10⁸ 2 5,
- C) 10 84 2 5,
- D) 10 99
- E) 25 × 10⁻²
Marque a alternativa correta:
Gabarito: A
Gabarito definitivo divulgado pela banca INEP (ENEM 2025).
Comentário
Gabarito: A.
A máquina funciona de forma contínua por 10 horas, então t varia de 0 a 10. A pressão não pode passar de 10 atm em nenhum instante desse intervalo, portanto é preciso achar o valor máximo da pressão nele (logaritmo de base 10).
O logaritmo é crescente, então a pressão é máxima quando o logaritmando −K·(t + 1)(t − 19) = K·(t + 1)(19 − t) é máximo. A expressão (t + 1)(19 − t) é uma parábola com concavidade para baixo, de raízes −1 e 19, cujo vértice está em t = (−1 + 19)/2 = 9, que pertence ao intervalo [0, 10].
No vértice: (9 + 1)(19 − 9) = 10 · 10 = 100. Logo, a pressão máxima é P = 4 · log(100K).
Impondo P ≤ 10:
- log(100K) ≤ 2,5
- 100K ≤ 10^2,5
- K ≤ 10^0,5
O maior valor de K é, portanto, 10^0,5.
Observação: usar t = 10 (extremo do intervalo) seria erro, pois a pressão atinge o máximo em t = 9, antes do fim do funcionamento. Qualquer K maior que 10^0,5 faz a pressão ultrapassar 10 atm em t = 9; entre as opções, a E (0,25) é válida, mas bem menor que 10^0,5, e a D (10^99) ultrapassa o limite.
Dica Enem: quando a restrição vale durante todo um intervalo, procure o máximo da função no intervalo (aqui, o vértice da parábola), não apenas o valor no extremo.
Fundamentos: Função logarítmica e desigualdades · Propriedades de logaritmos e potências de 10 · Substituição de valor e interpretação de modelo
Comentário gerado pela Cravei IA a partir do enunciado e do gabarito definitivo divulgado pela banca, e conferido por uma verificação automática. A IA pode errar: o gabarito oficial sempre prevalece.
Fonte: prova INEP ENEM 2025 (Enem — 2º dia (Ciências da Natureza e suas Tecnologias e Matemática e suas Tecnologias)), questão 172, com o gabarito definitivo da banca. Comentário: Equipe Cravei · como fazemos e revisamos.