Questão 152 · Matemática (Enem): Função exponencial e logaritmos
O acréscimo de tecnologias no sistema produtivo industrial tem por objetivo reduzir custos e aumentar a produtividade. No primeiro ano de funcionamento, uma indústria fabricou 8 000 unidades de um determinado produto. No ano seguinte, investiu em tecnologia adquirindo novas máquinas e aumentou a produção em 50%. Estima-se que esse aumento percentual se repita nos próximos anos, garantindo um crescimento anual de 50%. Considere P a quantidade anual de produtos fabricados no ano t de funcionamento da indústria.
Se a estimativa for alcançada, qual é a expressão que determina o número de unidades produzidas P em função de t, para t ≥1?
- A) P(t) = 0,5 · t ⁻¹ + 8 000
- B) P(t) = 50 · t ⁻¹ + 8 000
- C) P(t) = 4 000 · t ⁻¹ + 8 000
- D) P(t) = 8 000 · (0,5) ^t⁻¹
- E) P(t) = 8 000 · (1,5) ^t ⁻¹
Marque a alternativa correta:
Gabarito: E
Gabarito definitivo divulgado pela banca INEP (ENEM 2015).
Comentário
Gabarito: E.
No primeiro ano, a produção é 8 000 unidades. No segundo ano, ela aumenta 50%: 8 000 · 1,5 = 12 000. Como o crescimento de 50% se repete todo ano, cada ano é multiplicado por 1,5 (progressão geométrica de razão 1,5):
- Ano 1 (t = 1): P = 8 000 = 8 000 · 1,5⁰
- Ano 2 (t = 2): P = 8 000 · 1,5 = 12 000
- Ano 3 (t = 3): P = 8 000 · 1,5² = 18 000
Generalizando, P(t) = 8 000 · (1,5)^(t − 1), alternativa E.
As outras estão erradas:
- A: P(t) = 0,5 · (t − 1) + 8 000 é uma função de crescimento linear, com acréscimo de apenas 0,5 unidade por ano; no ano 2 daria 8 000,5, e não 12 000.
- B: P(t) = 50 · (t − 1) + 8 000 também é linear, com acréscimo fixo de 50 unidades por ano; no ano 2 daria 8 050.
- C: P(t) = 4 000 · (t − 1) + 8 000 acerta o ano 2 (12 000), mas é linear: no ano 3 daria 16 000, e não 18 000. O crescimento de 50% ao ano é exponencial, e não um acréscimo fixo.
- D: usa a base 0,5, que representa redução de 50% ao ano, e não aumento.
Dica Enem: em crescimento percentual constante, o fator é 1 + taxa (aqui, 1,5), e o expoente é t − 1, porque o primeiro ano é a base. Acréscimo fixo por ano gera função linear; percentual constante gera função exponencial.
Fundamentos: Função exponencial e crescimento percentual · Razão de progressão geométrica · Interpretação de situações de crescimento
Comentário gerado pela Cravei IA a partir do enunciado e do gabarito definitivo divulgado pela banca, e conferido por uma verificação automática. A IA pode errar: o gabarito oficial sempre prevalece.
Fonte: prova INEP ENEM 2015 (Enem — 2º dia (Linguagens, Códigos e suas Tecnologias e Matemática e suas Tecnologias)), questão 152, com o gabarito definitivo da banca. Comentário: Equipe Cravei · como fazemos e revisamos.