Questão 161 · Matemática (Enem): Geometria analítica
Para apagar os focos A e B de um incêndio, que estavam a uma distância de 30 m um do outro, os bombeiros de um quartel decidiram se posicionar de modo que a distância de um bombeiro ao foco A, de temperatura mais elevada, fosse sempre o dobro da distância desse bombeiro ao foco B, de temperatura menos elevada.
Nestas condições, a maior distância, em metro, que dois bombeiros poderiam ter entre eles é
- A) 30.
- B) 40.
- C) 45.
- D) 60.
- E) 68.
Marque a alternativa correta:
Gabarito: B
Gabarito definitivo divulgado pela banca INEP (ENEM 2018).
Comentário
Gabarito: B.
Coloque o foco B na origem e o foco A em (30, 0), pois a distância entre eles é 30 m. Um ponto P = (x, y), onde os bombeiros podem se posicionar, satisfaz PA = 2·PB. Elevando ao quadrado:
(x − 30)² + y² = 4(x² + y²) x² − 60x + 900 + y² = 4x² + 4y² 3x² + 3y² + 60x − 900 = 0 x² + y² + 20x − 300 = 0 (x + 10)² + y² = 400
Os bombeiros se posicionam sobre uma circunferência de centro (−10, 0) e raio 20 m. A maior distância entre dois pontos de uma circunferência é o diâmetro: 2 × 20 = 40 m. Por isso a alternativa B é a correta.
- (A) Errada: 30 m é a distância entre os focos, e não a maior distância entre os bombeiros.
- (C) Errada: 45 m não é o diâmetro de uma circunferência de raio 20 m.
- (D) Errada: 60 m não tem relação com a circunferência do lugar geométrico.
- (E) Errada: 68 m não corresponde ao diâmetro, que é 40 m.
Dica Enem: em lugares geométricos definidos pela razão entre distâncias (círculo de Apolônio), desenvolva a equação e complete o quadrado para achar centro e raio. Depois use o diâmetro para a maior distância.
Fundamentos: Lugar geométrico de pontos com razão de distâncias · Equação reduzida da circunferência · Diâmetro como maior distância entre pontos
Comentário gerado pela Cravei IA a partir do enunciado e do gabarito definitivo divulgado pela banca, e conferido por uma verificação automática. A IA pode errar: o gabarito oficial sempre prevalece.
Fonte: prova INEP ENEM 2018 (Enem — 2º dia (Ciências da Natureza e suas Tecnologias e Matemática e suas Tecnologias)), questão 161, com o gabarito definitivo da banca. Comentário: Equipe Cravei · como fazemos e revisamos.