Questão 146 · Matemática (Enem): Matrizes, determinantes e sistemas lineares
Um parque tem dois circuitos de tamanhos diferentes para corridas. Um corredor treina nesse parque e, no primeiro dia, inicia seu treino percorrendo 3 voltas em torno do circuito maior e 2 voltas em torno do menor, perfazendo um total de 1 800 m. Em seguida, dando continuidade a seu treino, corre mais 2 voltas em torno do circuito maior e 1 volta em torno do menor, percorrendo mais 1 100 m.
No segundo dia, ele pretende percorrer 5 000 m nos circuitos do parque, fazendo um número inteiro de voltas em torno deles e de modo que o número de voltas seja o maior possível.
A soma do número de voltas em torno dos dois circuitos, no segundo dia, será
- A) 10.
- B) 13.
- C) 14.
- D) 15.
- E) 16.
Marque a alternativa correta:
Gabarito: E
Gabarito definitivo divulgado pela banca INEP (ENEM 2022).
Comentário
Gabarito: E.
Chame de M o circuito maior e de m o menor, ambos em metros.
Primeiro dia (sistema):
- 3M + 2m = 1 800
- 2M + m = 1 100
Da segunda equação: m = 1 100 − 2M. Substituindo: 3M + 2(1 100 − 2M) = 1 800, logo −M = −400, então M = 400 m e m = 300 m.
Conferência: 3·400 + 2·300 = 1 800 ✓ e 2·400 + 300 = 1 100 ✓.
Segundo dia: 400a + 300b = 5 000, com a e b inteiros. Dividindo por 100: 4a + 3b = 50. Queremos maximizar a + b.
- Para que 50 − 4a seja divisível por 3, a deve ser 2, 5, 8, 11...
- a = 2 → b = 14, total 16 voltas (o maior).
- a = 5 → b = 10, total 15. a = 8 → b = 6, total 14.
Por que as outras estão erradas: o maior total possível é 16, então 10, 13, 14 e 15 não são o máximo.
Dica Enem: em problemas de 'maior número de voltas', use mais voltas no circuito menor, pois ele é o que mais aumenta a contagem. Depois verifique a divisibilidade com as equações diofantinas.
Fundamentos: sistemas lineares 2x2 · equação diofantina linear · maximização com inteiros
Comentário gerado pela Cravei IA a partir do enunciado e do gabarito definitivo divulgado pela banca, e conferido por uma verificação automática. A IA pode errar: o gabarito oficial sempre prevalece.
Fonte: prova INEP ENEM 2022 (Enem — 2º dia (Ciências da Natureza e suas Tecnologias e Matemática e suas Tecnologias)), questão 146, com o gabarito definitivo da banca. Comentário: Equipe Cravei · como fazemos e revisamos.