Questão 52 · Raciocínio Lógico e Matemática: Problemas aritméticos
Texto associado à questão
Texto 11A3AAA
Considere os números complexos z = 1 + 5i e w = 5 + i e suas representações geométricas em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy.
Com relação ao texto 11A3AAA, é correto afirmar que, em unidades de área (u.a.), o quadrilátero que tem seus vértices na origem do sistema de coordenadas e nos afixos dos números complexos z, w e z + w tem área igual a
- A) 48 u.a.
- B) 6 u.a.
- C) 12 u.a.
- D) 24 u.a.
- E) 36 u.a.
Marque a alternativa correta:
Gabarito: D
Gabarito definitivo divulgado pela banca Cebraspe (PREF/SAOLUIS 2017).
Comentário
Gabarito: D.
Os vértices são O(0,0), z = (1,5), w = (5,1) e z + w = (6,6). Esses quatro pontos formam um paralelogramo cujos lados saem da origem nos vetores z e w. A área é o módulo do determinante das coordenadas desses dois vetores:
|1·1 − 5·5| = |1 − 25| = 24 u.a.
Portanto, a alternativa D está correta.
- (A) 48: é o dobro da área correta, como se houvesse dois paralelogramos iguais em vez de um.
- (B) 6: não é uma área; é apenas a soma 1 + 5 das coordenadas de z, ou a coordenada de z + w.
- (C) 12: é a área do triângulo O, z, w, que é metade do paralelogramo; o quadrilátero pedido tem os quatro vértices e vale 24.
- (E) 36: é a área do quadrado 6 × 6 que contém o paralelogramo; esse quadrado inclui quatro triângulos de canto, de área total 12, que não pertencem ao quadrilátero (36 − 12 = 24).
Dica: a área do paralelogramo formado por dois vetores é o módulo do determinante; o triângulo com os mesmos vértices vale a metade.
Fundamentos: Área de paralelogramo por vetores: |x1·y2 − x2·y1| · Adição de complexos: (1+5i)+(5+i) = 6+6i
Comentário gerado pela Cravei IA a partir do enunciado e do gabarito definitivo divulgado pela banca, e conferido por uma verificação automática. A IA pode errar: o gabarito oficial sempre prevalece.
Fonte: prova Cebraspe PREF/SAOLUIS 2017 (Professor Nível Superior/PNS – A – Especialidade: Matemática), questão 52, com o gabarito definitivo da banca. Comentário: Equipe Cravei · como fazemos e revisamos.