Questão 51 · Raciocínio Lógico e Matemática: Problemas aritméticos
Texto associado à questão
Texto 11A3AAA
Considere os números complexos z = 1 + 5i e w = 5 + i e suas representações geométricas em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy.
Considerando-se o texto 11A3AAA, o polígono cujos vértices são os afixos dos números complexos z, w e z + w é um triângulo
- A) isósceles, e um dos seus ângulos mede mais de 90° e menos de 180°.
- B) isósceles e retângulo.
- C) escaleno e retângulo.
- D) equilátero.
- E) isósceles, e todos os seus ângulos medem menos de 90°.
Marque a alternativa correta:
Gabarito: E
Gabarito definitivo divulgado pela banca Cebraspe (PREF/SAOLUIS 2017).
Comentário
Gabarito: E.
Os afixos são z = (1, 5), w = (5, 1) e z + w = (6, 6). Chamemos A = (1, 5), B = (5, 1) e C = (6, 6).
Calculando as distâncias: AC² = 5² + 1² = 26 e BC² = 1² + 5² = 26, logo AC = BC = √26, e o triângulo é isósceles. Já AB² = 4² + 4² = 32.
Para verificar os ângulos, use a lei dos cossenos no ângulo C, oposto ao lado AB: cos C = (26 + 26 − 32) / (2 · 26) = 20/52 > 0, então C é agudo. Os ângulos da base também são agudos, pois o triângulo isósceles tem base AB e os ângulos nela são menores que 90°. Logo, todos os ângulos são menores que 90° e a alternativa E é a correta.
- A: errada, pois nenhum ângulo mede mais de 90°.
- B: errada, pois não há ângulo reto.
- C: errada, pois o triângulo não é escaleno nem retângulo.
- D: errada, pois os lados são √26, √26 e √32, e não são iguais.
Dica: para classificar triângulos por ângulos, compare o quadrado do maior lado com a soma dos quadrados dos outros dois.
Fundamentos: Afixos de números complexos: z = a + bi ↔ (a, b) no plano cartesiano · Lei dos cossenos e classificação de triângulos quanto aos ângulos
Comentário gerado pela Cravei IA a partir do enunciado e do gabarito definitivo divulgado pela banca, e conferido por uma verificação automática. A IA pode errar: o gabarito oficial sempre prevalece.
Fonte: prova Cebraspe PREF/SAOLUIS 2017 (Professor Nível Superior/PNS – A – Especialidade: Matemática), questão 51, com o gabarito definitivo da banca. Comentário: Equipe Cravei · como fazemos e revisamos.