Questão 42 · Raciocínio Lógico e Matemática: Problemas aritméticos
Um sistema linear de 4 equações e 4 incógnitas pode ser escrito na forma matricial como AX = B, em que A é a matriz, de ordem 4 × 4, dos coeficientes da equação; X é a matriz coluna, de ordem 4 × 1, das incógnitas da equação e B é a matriz coluna, de ordem 4 × 1, dos termos independentes da equação.
Com referência a essas informações, assinale a opção correta.
- A) Se X1, X2 e X3 forem matrizes, de ordem 4 × 1, que são soluções distintas da referida equação matricial, então o determinante de A será igual a zero.
- B) Se a matriz A tiver exatamente duas linhas iguais, então o sistema terá exatamente duas soluções distintas.
- C) Se todos os elementos da matriz B forem iguais a zero e o determinante de A for igual a zero, então o sistema não terá solução.
- D) Se uma matriz C, de ordem 4 × 1, possuir dois elementos positivos e dois negativos e for tal que AC = B, então o determinante de A será diferente de zero.
- E) Se o determinante da matriz A for igual a zero, então A terá pelo menos duas linhas iguais.
Marque a alternativa correta:
Gabarito: A
Gabarito definitivo divulgado pela banca Cebraspe (PREF/SAOLUIS 2017).
Comentário
Gabarito: A.
Se A é invertível (det A ≠ 0), o sistema AX = B tem uma única solução, dada por X = A⁻¹B. Logo, se existirem três soluções distintas X1, X2 e X3, a matriz A não pode ser invertível, ou seja, det A = 0. Essa é a justificativa da alternativa A.
- B: errada, pois duas linhas iguais não garantem exatamente duas soluções; o sistema pode não ter solução ou ter infinitas.
- C: errada, pois um sistema homogêneo com det A = 0 sempre admite a solução trivial, então não é verdade que não haja solução.
- D: errada, pois AC = B com det A = 0 ainda pode ocorrer, havendo infinitas soluções.
- E: errada, pois det A = 0 não exige duas linhas iguais; basta alguma dependência linear entre linhas, como em uma matriz com linhas (1,0,0,0), (0,1,0,0), (1,1,0,0) e (0,0,0,1).
Dica: determinante zero significa dependência linear, o que é mais amplo.
Fundamentos: Teorema: se det A ≠ 0, a matriz A é invertível e o sistema AX = B tem solução única · Propriedade de determinantes: det A = 0 quando há dependência linear entre linhas
Comentário gerado pela Cravei IA a partir do enunciado e do gabarito definitivo divulgado pela banca, e conferido por uma verificação automática. A IA pode errar: o gabarito oficial sempre prevalece.
Fonte: prova Cebraspe PREF/SAOLUIS 2017 (Professor Nível Superior/PNS – A – Especialidade: Matemática), questão 42, com o gabarito definitivo da banca. Comentário: Equipe Cravei · como fazemos e revisamos.