Questão 45 · Conhecimentos Específicos (outras áreas): Estatística avançada
Considerando que o conjunto de dados apresentado represente uma realização de uma amostra aleatória simples de tamanho 𝑛 5 retirada de uma população 𝑋, cuja função de probabilidade acumulada é escrita como 𝑃𝑋 𝑥 1 , se 𝑥 𝛽; e 𝑃 𝑋 𝑥 0, se 𝑥 𝛽, em que 𝛽 é o parâmetro desconhecido, julgue os itens que se seguem.
A média amostral é uma estatística suficiente para a estimação do parâmetro 𝛽.
Julgue o item:
Gabarito: ERRADO
Gabarito definitivo divulgado pela banca Cebraspe (PF 2021).
Comentário
Gabarito: ERRADO.
O item afirma que a média amostral é uma estatística suficiente para o parâmetro 𝛽. A afirmação está incorreta.
A função de probabilidade acumulada descrita (F(x) = 0 para x < 𝛽 e F(x) = 1 para x ≥ 𝛽) corresponde a uma variável aleatória degenerada (ou constante), que assume o valor 𝛽 com probabilidade 1. Isso significa que qualquer observação (Xᵢ) retirada dessa população será sempre igual a 𝛽. Consequentemente, uma amostra de tamanho 𝑛=5 será (𝛽, 𝛽, 𝛽, 𝛽, 𝛽), e a média amostral (X̄) será (5𝛽)/5 = 𝛽.
Para que uma estatística T seja considerada suficiente, a distribuição condicional da amostra, dado o valor de T, não pode depender do parâmetro desconhecido. No caso, a estatística é a média amostral (T = X̄) e o parâmetro é 𝛽.
Vamos analisar a distribuição condicional da amostra (X₁, ..., X₅) dado que X̄ = t. Como a única amostra possível é (𝛽, ..., 𝛽), o único valor que a média amostral pode assumir é t = 𝛽. A distribuição condicional da amostra, dado que X̄ = 𝛽, é uma distribuição de probabilidade concentrada (massa de probabilidade igual a 1) no ponto (𝛽, 𝛽, 𝛽, 𝛽, 𝛽). O suporte (localização) dessa distribuição condicional depende diretamente do valor de 𝛽. Se 𝛽 mudasse, a localização da massa de probabilidade também mudaria. Como a distribuição condicional depende de 𝛽, a média amostral não é uma estatística suficiente.
Fundamentos: Definição de Estatística Suficiente · Teorema da Fatorização de Neyman-Fisher
Comentário gerado pela Cravei IA a partir do enunciado e do gabarito definitivo divulgado pela banca, e conferido por uma verificação automática. A IA pode errar: o gabarito oficial sempre prevalece.
Fonte: prova Cebraspe PF 2021 (Escrivão de Polícia Federal), questão 45, com o gabarito definitivo da banca. Comentário: Equipe Cravei · como fazemos e revisamos.