Questão 60 · Conhecimentos Específicos (outras áreas): Estatística avançada

Gabarito: CERTO.

Para resolver esta questão, precisamos analisar a distribuição de $Q$. Sabemos que $N$ segue uma distribuição de Poisson com média $\lambda = 10$. A distribuição condicional de $Q$ dado $N=n$ é $P(Q=q | N=n) = \frac{1}{2^n} \binom{n}{q}$, para $q \in {0, 1, \ldots, n}$. Esta é a função de probabilidade de uma distribuição binomial $B(n, p)$ com $p = 1/2$.

Para encontrar a distribuição marginal de $Q$, usamos a lei da probabilidade total:

$P(Q=q) = \sum_{n=q}^{\infty} P(Q=q | N=n) P(N=n)$

$P(Q=q) = \sum_{n=q}^{\infty} \binom{n}{q} \left(\frac{1}{2}\right)^n \frac{e^{-\lambda} \lambda^n}{n!}$

$P(Q=q) = \frac{e^{-\lambda}}{q!} \sum_{n=q}^{\infty} \frac{n!}{(n-q)!} \left(\frac{1}{2}\right)^n \frac{\lambda^n}{n!}$

$P(Q=q) = \frac{e^{-\lambda}}{q!} \sum_{n=q}^{\infty} \frac{1}{(n-q)!} \left(\frac{\lambda}{2}\right)^n$

Fazendo a mudança de variável $k = n-q$, temos $n = k+q$:

$P(Q=q) = \frac{e^{-\lambda}}{q!} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} \left(\frac{\lambda}{2}\right)^{k+q}$

$P(Q=q) = \frac{e^{-\lambda}}{q!} \left(\frac{\lambda}{2}\right)^q \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} \left(\frac{\lambda}{2}\right)^k$

Reconhecendo a série de Taylor para $e^x$, onde $x = \lambda/2$:

$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} \left(\frac{\lambda}{2}\right)^k = e^{\lambda/2}$

Substituindo de volta:

$P(Q=q) = \frac{e^{-\lambda}}{q!} \left(\frac{\lambda}{2}\right)^q e^{\lambda/2}$

$P(Q=q) = \frac{e^{-\lambda + \lambda/2}}{q!} \left(\frac{\lambda}{2}\right)^q$

$P(Q=q) = \frac{e^{-\lambda/2} (\lambda/2)^q}{q!}$

Esta é a função de probabilidade de uma distribuição de Poisson com parâmetro $\lambda' = \lambda/2$. Dado que $\lambda = 10$, a média de $Q$ é $10/2 = 5$. Portanto, $Q$ segue uma distribuição de Poisson.