Questão 52 · Conhecimentos Específicos (outras áreas): Estatística avançada
Julgue os itens a seguir, considerando que, em registros administrativos de servidores, um índice de risco de inconsistência (ܺ) é uma variável aleatória descrita pela função de densidade de probabilidade ݂ሺݔሻ ൌ ሺଵାషೣሻమ షೣ , em que ∈ ݔℝ.
A mediana de ܺ é igual a 1.
Julgue o item:
Gabarito: ERRADO
Gabarito definitivo divulgado pela banca Cebraspe (PF 2025).
Comentário
Gabarito: ERRADO. A mediana de uma variável aleatória contínua X é o valor 'm' tal que P(X ≤ m) = 0,5. Para encontrar a mediana, precisamos integrar a função de densidade de probabilidade (f(x)) de -∞ até 'm' e igualar o resultado a 0,5.
A função de densidade é f(x) = e^(-x) / (1 + e^(-x))^2. Vamos calcular a integral:
∫[de -∞ a m] [e^(-x) / (1 + e^(-x))^2] dx
Podemos usar uma substituição simples: seja u = 1 + e^(-x). Então, du = -e^(-x) dx, ou seja, -du = e^(-x) dx.
Quando x = -∞, u = 1 + e^(∞) = ∞. Quando x = m, u = 1 + e^(-m).
A integral se torna:
∫[de ∞ a 1+e^(-m)] [-1/u^2] du = ∫[de 1+e^(-m) a ∞] [1/u^2] du
= [-1/u] [de 1+e^(-m) a ∞]
= (-1/∞) - (-1/(1 + e^(-m)))
= 0 + 1/(1 + e^(-m))
Agora, igualamos a 0,5 para encontrar a mediana:
1 / (1 + e^(-m)) = 0,5
1 = 0,5 * (1 + e^(-m))
2 = 1 + e^(-m)
1 = e^(-m)
Para que e^(-m) seja igual a 1, o expoente -m deve ser 0.
-m = 0 => m = 0.
Portanto, a mediana de X é 0, não 1. O item está incorreto.
Fundamentos: Conceito de mediana para variáveis aleatórias contínuas · Cálculo integral
Comentário gerado pela Cravei IA a partir do enunciado e do gabarito definitivo divulgado pela banca, e conferido por uma verificação automática. A IA pode errar: o gabarito oficial sempre prevalece.
Fonte: prova Cebraspe PF 2025 (Estatístico), questão 52, com o gabarito definitivo da banca. Comentário: Equipe Cravei · como fazemos e revisamos.