Questão 65 · Conhecimentos Específicos (outras áreas): Estatística avançada

Gabarito: CERTO.

O item está correto pois a afirmação é uma aplicação direta do Teorema Central do Limite (TCL).

A estatística M₃ é definida como a média amostral das variáveis aleatórias transformadas Yᵢ = Xᵢ³, ou seja, M₃ = (1/n)∑Yᵢ. Para que o TCL se aplique à média amostral M₃, as variáveis Yᵢ devem ser independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.) e possuir média e variância finitas.

1. Condição de i.i.d.: Como as variáveis originais Xᵢ são uma amostra aleatória simples (portanto, i.i.d.), as variáveis transformadas Yᵢ = Xᵢ³ também são i.i.d.
2. Condição de momentos finitos: A distribuição original é uma Uniforme Contínua em um intervalo fechado e limitado [a, a+1]. Qualquer momento (E[Xᵏ]) de uma variável aleatória com suporte limitado é finito. Portanto, a média E[Yᵢ] = E[Xᵢ³] e a variância Var(Yᵢ) = E[Yᵢ²] - (E[Yᵢ])² = E[Xᵢ⁶] - (E[Xᵢ³])² são finitas.

Sendo as condições satisfeitas, o Teorema Central do Limite garante que, à medida que o tamanho da amostra n tende ao infinito, a distribuição da média amostral M₃ converge para uma distribuição Normal.

Dica: O Cebraspe frequentemente testa o Teorema Central do Limite em contextos que não envolvem diretamente a média amostral de X, mas sim a média de uma função de X. A lógica é a mesma: verifique se as novas variáveis (a função de X) são i.i.d. e se seus momentos de primeira e segunda ordem são finitos.