Questão 61 · Conhecimentos Específicos (outras áreas): Estatística avançada

Gabarito: ERRADO.

O item aborda a convergência em probabilidade de $\sqrt{M_2}$ quando $n \to \infty$, com $a = -1/2$. A variável aleatória $X_i$ segue uma distribuição uniforme contínua no intervalo $[a, a+1]$. Se $a = -1/2$, o intervalo é $[-1/2, 1/2]$.

Primeiramente, vamos calcular o segundo momento da distribuição, $E[X^2]$. Para uma distribuição uniforme contínua em $[c, d]$, a densidade de probabilidade é $f(x) = 1/(d-c)$ para $x \in [c, d]$ e 0 caso contrário. No nosso caso, $c = -1/2$ e $d = 1/2$, então $d-c = 1$. Assim, $f(x) = 1$ para $x \in [-1/2, 1/2]$.

$E[X^2] = \int_{-1/2}^{1/2} x^2 \cdot 1 , dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1/2}^{1/2} = \frac{(1/2)^3}{3} - \frac{(-1/2)^3}{3} = \frac{1/8}{3} - \frac{-1/8}{3} = \frac{1}{24} + \frac{1}{24} = \frac{2}{24} = \frac{1}{12}$.

Pela Lei dos Grandes Números, a média amostral $M_k = n^{-1} \sum_{i=1}^n X_i^k$ converge em probabilidade para o $k$-ésimo momento populacional, $E[X^k]$, quando $n \to \infty$. Portanto, $M_2 \xrightarrow{P} E[X^2] = 1/12$.

Pelo Teorema da Transformação Contínua (Continuous Mapping Theorem), se $Y_n \xrightarrow{P} Y$ e $g$ é uma função contínua, então $g(Y_n) \xrightarrow{P} g(Y)$. Como a função $g(x) = \sqrt{x}$ é contínua para $x > 0$, temos que $\sqrt{M_2} \xrightarrow{P} \sqrt{E[X^2]} = \sqrt{1/12}$.

$\sqrt{1/12} = \frac{1}{\sqrt{12}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$.

Como $\frac{\sqrt{3}}{6} \neq 1$, a afirmação de que $\sqrt{M_2}$ converge em probabilidade para 1 está incorreta. O valor correto de convergência é $\frac{\sqrt{3}}{6}$.

Dica: Em questões de convergência em probabilidade envolvendo momentos, lembre-se da Lei dos Grandes Números e do Teorema da Transformação Contínua.