Questão 63 · Conhecimentos Específicos (outras áreas): Estatística avançada

Gabarito: ERRADO.

Para julgar a variância de $M_1$, precisamos primeiro identificar o que $M_1$ representa. Dada a definição $M_k = n^{-1} \sum_{i=1}^{n} X_i^k$, para $k=1$, temos $M_1 = n^{-1} \sum_{i=1}^{n} X_i$, que é a média amostral ($\bar{X}$).

A amostra $X_1, \dots, X_n$ é extraída de uma distribuição uniforme contínua no intervalo $[a, a+1]$. Para uma variável aleatória $X$ com distribuição uniforme contínua no intervalo $[c, d]$, a média é $E[X] = (c+d)/2$ e a variância é $Var(X) = (d-c)^2/12$.

No nosso caso, $c=a$ e $d=a+1$. Assim, a variância de uma única observação $X_i$ é: $Var(X_i) = ((a+1) - a)^2 / 12 = (1)^2 / 12 = 1/12$.

A variância da média amostral ($\bar{X}$) é dada por $Var(\bar{X}) = Var(M_1) = Var\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\right)$. Como as observações são independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.), temos: $Var(M_1) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} Var(X_i) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{12} = \frac{1}{n^2} \cdot n \cdot \frac{1}{12} = \frac{1}{12n}$.

Portanto, a afirmação de que a variância de $M_1$ é igual a $1/12$ está incorreta. A variância de $M_1$ é, na verdade, $1/(12n)$. O item confunde a variância de uma única observação com a variância da média amostral.

Dica: Fique atento à diferença entre a variância de uma variável aleatória individual e a variância da média amostral, que sempre inclui o termo $1/n$.