Questão 64 · Conhecimentos Específicos (outras áreas): Estatística avançada

Gabarito: CERTO. A Lei Fraca dos Grandes Números (LFGN) estabelece que a média amostral converge em probabilidade para a esperança da variável aleatória, desde que a esperança e a variância existam. No caso, temos uma amostra aleatória simples $X_1, \dots, X_n$ de uma distribuição uniforme contínua no intervalo $[a, a+1]$.

O item pede para considerar $a=0$. Assim, a distribuição é uniforme no intervalo $[0, 1]$. A estatística em questão é $M_k = n^{-1} \sum_{i=1}^n X_i^k$. Pela LFGN, $M_k$ converge em probabilidade para $E[X^k]$.

Para uma variável aleatória $X \sim U(0,1)$, a função densidade de probabilidade é $f(x) = 1$ para $0 \le x \le 1$ e $0$ caso contrário.

Vamos calcular $E[X^k]$: $E[X^k] = \int_{-\infty}^{\infty} x^k f(x) dx = \int_0^1 x^k \cdot 1 dx$ $E[X^k] = \left[ \frac{x^{k+1}}{k+1} \right]_0^1 = \frac{1^{k+1}}{k+1} - \frac{0^{k+1}}{k+1} = \frac{1}{k+1} = (k+1)^{-1}$.

Portanto, de acordo com a Lei Fraca dos Grandes Números, $M_k$ converge em probabilidade para $(k+1)^{-1}$ à medida que $n \to +\infty$.