Questão 53 · Conhecimentos Específicos (outras áreas): Estatística avançada

Gabarito: ERRADO.

A função de densidade de probabilidade (f.d.p.) dada é (f(x) = \frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}), para (x \in \mathbb{R}). Esta é a f.d.p. da distribuição logística padrão. Uma característica importante da distribuição logística padrão é que ela é simétrica em torno de zero. Isso significa que (f(x) = f(-x)).

Vamos verificar a simetria: (f(-x) = \frac{e^{-(-x)}}{(1+e^{-(-x)})^2} = \frac{e^{x}}{(1+e^{x})^2}). Para que seja simétrica em torno de zero, precisaríamos que (f(x) = f(-x)), o que não é o caso aqui. No entanto, a função (f(x) = \frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}) é a derivada da função de distribuição acumulada (F(x) = \frac{1}{1+e^{-x}}), que é a função sigmoide. A distribuição logística padrão tem média zero e é simétrica em torno da média. A f.d.p. da distribuição logística padrão é (f(x) = \frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}).

Para uma distribuição simétrica em torno de zero, todos os momentos de ordem ímpar (se existirem) são iguais a zero. O momento de ordem 9, (E[X^9]), é um momento de ordem ímpar. Portanto, se a distribuição é simétrica em torno de zero, (E[X^9] = 0).

Como (E[X^9] = 0), ele não pode ser positivo. Assim, a afirmação de que o momento de ordem 9 é positivo está incorreta.

Dica: Em distribuições simétricas em torno de zero, momentos de ordem ímpar são nulos.