Questão 51 · Conhecimentos Específicos (outras áreas): Estatística avançada

Gabarito: ERRADO.

Para encontrar o primeiro quartil (Q1), precisamos determinar o valor de (x) tal que a probabilidade acumulada seja 0,25. Ou seja, (P(X \le Q1) = \int_{-\infty}^{Q1} f(x) dx = 0,25).

A função de densidade de probabilidade é (f(x) = \frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}).

A função de distribuição acumulada (F(x)) é dada por: (F(x) = \int_{-\infty}^{x} \frac{e^{-t}}{(1+e^{-t})^2} dt) Fazendo a substituição (u = 1+e^{-t}), temos (du = -e^{-t} dt), ou seja, (e^{-t} dt = -du). Quando (t \to -\infty), (u \to \infty). Quando (t = x), (u = 1+e^{-x}).

Assim, (F(x) = \int_{\infty}^{1+e^{-x}} \frac{-du}{u^2} = \int_{1+e^{-x}}^{\infty} \frac{du}{u^2} = \left[ -\frac{1}{u} \right]_{1+e^{-x}}^{\infty} = 0 - \left( -\frac{1}{1+e^{-x}} \right) = \frac{1}{1+e^{-x}}).

Para encontrar o primeiro quartil, igualamos (F(Q1) = 0,25): (\frac{1}{1+e^{-Q1}} = 0,25) (1 = 0,25 (1+e^{-Q1})) (4 = 1+e^{-Q1}) (3 = e^{-Q1}) (\ln(3) = -Q1) (Q1 = -\ln(3)).

Como (-\ln(3) \ne 0), o primeiro quartil não é igual a zero. O item está incorreto. O valor correto do primeiro quartil é (-\ln(3)).