Questão 57 · Conhecimentos Específicos (outras áreas): Estatística avançada
Texto associado à questão
Texto 11A3CCC
Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, considere a função f, definida da seguinte forma: f(x) = x, para 0 # x < 10; e f(x) = 8, para x $ 10.
A derivada, f N(x), da função f apresentada no texto 11A3CCC pode ser calculada para diversos valores x do domínio da f. Dessa forma, f N(x) será expressa por
- A) f N(x) = 1, para 0 < x < 10; e f N(x) = 0, para x >10.
- B) f N(x) = 1, para 0 < x < 10; e f N(x) = 0, para x $10.
- C) f N(x) = 1, para 0 # x # 10; e f N(x) = 0, para x >10.
- D) f N(x) = 1, para 0 # x # 10; e f N(x) = 0, para x $10.
- E) f N(x) = 1, para 0 # x < 10; e f N(x) = 0, para x $10.
Marque a alternativa correta:
Gabarito: A
Gabarito definitivo divulgado pela banca Cebraspe (PREF/SAOLUIS 2017).
Comentário
Gabarito: A.
Para 0 < x < 10, f(x) = x, cuja derivada é 1. Para x > 10, f(x) = 8 é constante, e a derivada é 0.
Nos pontos de troca e de borda a situação é diferente:
- Em x = 10, a função é descontínua (o limite pela esquerda é 10, mas f(10) = 8). Uma função descontínua em um ponto não é derivável nesse ponto, logo não existe f′(10) e esse ponto não pode entrar em nenhum dos dois ramos.
- Em x = 0, extremo do domínio, não há valores de x à esquerda, de modo que a derivada usual só é considerada no intervalo aberto.
Assim, f′(x) = 1 para 0 < x < 10 e f′(x) = 0 para x > 10, que é a alternativa A.
- (B) Errada: atribui derivada 0 para x ≥ 10, incluindo x = 10, onde f não é derivável.
- (C) Errada: inclui x = 0 e x = 10 no ramo de derivada 1; em x = 10 não existe derivada.
- (D) Errada: repete o erro de incluir x = 0 e x = 10 no ramo de derivada 1 e ainda atribui derivada 0 para x = 10, onde ela não existe.
- (E) Errada: atribui derivada 1 em x = 0 (extremo do domínio) e derivada 0 em x = 10 (x ≥ 10), ponto onde a função é descontínua e, portanto, não derivável.
Dica: em funções definidas por partes, derivabilidade exige continuidade; o ponto de troca de regra fica de fora quando há salto.
Fundamentos: Derivada de f(x)=x é 1; de constante é 0 · Derivabilidade exige igualdade das derivadas laterais no ponto
Comentário gerado pela Cravei IA a partir do enunciado e do gabarito definitivo divulgado pela banca, e conferido por uma verificação automática. A IA pode errar: o gabarito oficial sempre prevalece.
Fonte: prova Cebraspe PREF/SAOLUIS 2017 (Professor Nível Superior/PNS – A – Especialidade: Matemática), questão 57, com o gabarito definitivo da banca. Comentário: Equipe Cravei · como fazemos e revisamos.