Questão 90 · Conhecimentos Específicos (outras áreas): Estatística avançada

Gabarito: CERTO.

Para uma distribuição uniforme contínua $U[0, \theta]$, o estimador de máxima verossimilhança (EMV) para $\theta$ é $X_{(n)}$, a maior estatística de ordem (o máximo da amostra). No entanto, $X_{(n)}$ é um estimador viesado para $\theta$, pois $E[X_{(n)}] = \frac{n}{n+1}\theta$. Para obter um estimador não viesado, precisamos ajustar $X_{(n)}$.

Se $E[X_{(n)}] = \frac{n}{n+1}\theta$, então $E\left[\frac{n+1}{n} X_{(n)}\right] = \frac{n+1}{n} E[X_{(n)}] = \frac{n+1}{n} \frac{n}{n+1}\theta = \theta$. Assim, o estimador $\frac{n+1}{n} X_{(n)}$ é não viesado para $\theta$. Este estimador pode ser reescrito como $X_{(n)} \left(1 + \frac{1}{n}\right)$.

Além disso, para a distribuição uniforme $U[0, \theta]$, $X_{(n)}$ é uma estatística suficiente e completa. Pelo Teorema de Lehmann-Scheffé, se um estimador é não viesado e é uma função de uma estatística suficiente e completa, então ele é o estimador não viesado de variância mínima (UMVUE). Portanto, $X_{(n)} \left(1 + \frac{1}{n}\right)$ é o estimador não viesado de variância mínima para $\theta$.

Dica: Lembre-se que o EMV nem sempre é não viesado. Muitas vezes, é necessário um ajuste para remover o viés, e o Teorema de Lehmann-Scheffé é crucial para identificar o UMVUE.