Questão 87 · Conhecimentos Específicos (outras áreas): Estatística avançada

Gabarito: ERRADO.

O item afirma que a estatística T(X₁, ..., Xn) = X(n) (o máximo da amostra) não é uma estatística suficiente para o parâmetro (\theta) da distribuição uniforme U[0, (\theta)]. Essa afirmação está incorreta.

Para verificar a suficiência, podemos usar o Teorema da Fatoração de Fisher-Neyman. A função de verossimilhança para uma amostra de n variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas de U[0, (\theta)] é dada por:

L((\theta) | x₁, ..., xn) = (\prod_{i=1}^{n}) f(xi | (\theta))

Onde f(x | (\theta)) = 1/(\theta) para 0 (\le) x (\le) (\theta) e 0 caso contrário. Isso pode ser reescrito usando a função indicadora I(condição):

f(x | (\theta)) = (1/(\theta)) * I(0 (\le) x (\le) (\theta))

Então, L((\theta) | x₁, ..., xn) = (1/(\theta))^n * (\prod_{i=1}^{n}) I(0 (\le) xi (\le) (\theta))

O produto das funções indicadoras é 1 se e somente se 0 (\le) xi (\le) (\theta) para todo i, o que significa que 0 (\le) min(xi) e max(xi) (\le) (\theta). Como a distribuição é de 0 a (\theta), o 0 (\le) min(xi) é sempre satisfeito. Assim, a condição se resume a max(xi) (\le) (\theta).

L((\theta) | x₁, ..., xn) = (1/(\theta))^n * I(max(xi) (\le) (\theta))

Podemos escrever isso na forma do Teorema da Fatoração: L((\theta) | x₁, ..., xn) = g(T(x), (\theta)) * h(x).

Neste caso, g(T(x), (\theta)) = (1/(\theta))^n * I(max(xi) (\le) (\theta)) e h(x) = 1. Aqui, T(x) = max(xi) = X(n).

Como a função de verossimilhança pode ser fatorada dessa forma, X(n) é uma estatística suficiente para (\theta).

Dica: Para distribuições com suporte dependente do parâmetro (como a uniforme ou a exponencial), a estatística de ordem extrema (mínimo ou máximo) é frequentemente a estatística suficiente para o parâmetro que define o limite do suporte.