Questão 91 · Conhecimentos Específicos (outras áreas): Estatística avançada

Gabarito: CERTO.

Para verificar se um estimador é não viesado (não enviesado), calculamos seu valor esperado. Se E[Estimador] = Parâmetro, ele é não viesado. Para a distribuição uniforme U[0, θ], a função densidade de probabilidade é f(x) = 1/θ para 0 ≤ x ≤ θ. A esperança de X (E[X]) é θ/2.

O estimador proposto é 2 * X1. Vamos calcular sua esperança: E[2 * X1] = 2 * E[X1]. Como X1 é uma variável aleatória da população, E[X1] = E[X] = θ/2. Assim, E[2 * X1] = 2 * (θ/2) = θ. Como E[2 * X1] = θ, o estimador é não viesado.

Para a consistência, um estimador é consistente se, à medida que o tamanho da amostra (n) tende ao infinito, ele converge em probabilidade para o parâmetro que está estimando. No caso de 2 * X1, a consistência não depende do tamanho da amostra (n), pois o estimador utiliza apenas a primeira observação (X1). A variância de 2 * X1 é Var(2 * X1) = 4 * Var(X1). A variância de uma uniforme U[0, θ] é θ²/12. Portanto, Var(2 * X1) = 4 * (θ²/12) = θ²/3. Esta variância não tende a zero quando n → ∞, pois não depende de n. Além disso, a convergência em probabilidade para um estimador que não utiliza a informação de toda a amostra (quando n cresce) geralmente não ocorre, a menos que a distribuição seja degenerada. Portanto, 2 * X1 não é um estimador consistente para θ.